P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2018.1

Sejam e sua transposta.

Considere a transformação linear cuja matriz, na base canônica , é a matriz

.

1. Determine
2. Verifique que e que

Sejam e sua transposta.

Considere a transformação linear cuja matriz, na base canônica , é a matriz

.

c)Determine os autovalores de T

d) Determine os autoespaços de T

Sejam e sua transposta.

Considere a transformação linear cuja matriz, na base canônica , é a matriz

.

e) T é injetora?

f) T é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize T ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.

g) Considere a transformação composta . Existe uma base ortonormal de , feita de autovetores F?

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicaçãodada por

a) Mostre que T é uma transformação linear.

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicaçãodada por

c) Determine uma base de Im(T) (Imagem de T).

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicaçãodada por

b) Determine uma base de Nuc(T) (Núcleo de T).

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

a)Se é uma transformação linear, então é base ortonormal de R².

b) Se é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R², então T é diagonalizável.

c) Se é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R², então T é ortogonalmente diagonalizável.

d) Se é uma transformação linear tal que sua matriz [T] na base canônica é ortogonal , então |det([T])|=1.

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicaçãodada por

d)Seja base de M2x2 e ϵ = {(1; 0), (0; 1)}

base de R². Determine

e)Encontre uma matriz A tal que , onde , como no item anterior