Sejam e sua transposta.
Considere a transformação linear cuja matriz, na base canônica , é a matriz
.
e) T é injetora?
f) T é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize T ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.
g) Considere a transformação composta . Existe uma base ortonormal de , feita de autovetores F?
Passo 1
Essa é bem simples, basta você lembra que se tivermos um dos autovalores de T sendo nulo (igual à zero), necessariamente a transformação linear não será injetora.
Passo 2
Para a letra f), precisamos analisar algumas coisas importantes....
A nossa matriz [T] é simétrica e o conjunto que encontramos no item c) para os autovetores de T , formado por {(-2,1,0),(2,1,0),(0,0,1)} são uma base ortogonal de R³
Então agora, a gente só precisa definir quem é a nossa matriz D, formada pelos autovalores e a nossa matriz P, formada pelos autovetores NORMALIZADOS.
Podemos escrever então nossas matrizes assim
Passo 3
Letra g) agora pra fechar o caixão.
Se olharmos para F, podemos escrevê-lo da seguinte forma:
Utilizando o P e o D da letra f.
Isso significa que F é ortogonalmente diagonalizável.
Resposta
e)Não é injetora
f) Sim, é ortogonalmente diagonalizável.
g) Sim, já vimos que ele é ortogonalmente diagonalizável