Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
a)Se é uma transformação linear, então é base ortonormal de R².
b) Se é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R², então T é diagonalizável.
c) Se é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R², então T é ortogonalmente diagonalizável.
d) Se é uma transformação linear tal que sua matriz [T] na base canônica é ortogonal , então |det([T])|=1.
Passo 1
Para mostrar que uma afirmativa é FALSA, precisamos apenas de um contra exemplo.
Para o caso da letra a) podemos pensar no seguinte...
Se T(x, y) = (0, 0), T é T.L., mas {T(1, 0); T(0, 1)} = {(0, 0)} não é base de R², pois com certeza a origem não vai gerar o R²
Sendo assim, a afirmativa é FALSA.
Passo 2
Vamos a letra b)
Para iniciar essa ideia, vamos pensar na seguinte transformação:
Se pensarmos na seguinte transformação:
Essa vai ser a base ortonormal do , pois os se fizermos o produto interno teremos:
Além disso o módulo dos dois vetores é 1.
Vamos verificar se ele é diagonalizável, para isso primeiro acharemos os autovalores, para isso teremos:
Mas essa equação não tem solução real, então T não é diagonalizável!
Encontramos nosso contraexemplo, podemos dizer então que a afirmação é FALSA.
Passo 3
No item anterior vimos que para :
T não é diagonalizável, logo também não será ortogonalmente diagonalizável.
Portanto, FALSA.
Passo 4
Uma das interpretações sobre o determinante, é que o seu módulo será igual a área em questão.
Portanto,se temos um paralelogramo formado por T(1,0) e T(0,1), ele necessariamente será um quadrado que terá área 1, ou seja, o módulo do determinante será igual a 1.
VERDADEIRO
Resposta
- FALSO
- FALSO
- FALSO
- VERDADEIRO