P1 de Cálculo 2 da UFRJ - 2015.1

Considere a curva parametrizada por , . O comprimento do arco de entre os pontos e é:

a)

b)

c)

d)

e)

Um tanque contém de água. Uma solução com concentração salina de é adicionada à taxa de . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque na taxa de Se é a quantidade de sal (em quilogramas) após minutos, qual é a equação diferencial que modela essa mistura?

a)

b)

c)

d)

e)

Seja a curva parametrizada por . Determine os valores de tais que a reta tangente à no ponto intercepta o eixo .

a)

b)

c)

d)

e)

Sabe-se que é a solução de . Quanto valem e ?

a) e

b) e

c) e

d) e

e) e

As curvas e parametrizadas respectivamente por

Passam pelo ponto . O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas e no ponto é:

a)

b)

c)

d)

e)

A reta que passa pela origem e faz ângulo com o eixo , intercepta a circunferência no ponto . Seja o ponto médio do segmento na figura abaixo. Determine as coordenadas de em função do ângulo . Perceba que, quando varia entre e , o ponto percorre a curva da figura.

Encontre o ponto da curva parametrizada por , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor .

a)

b)

c)

d)

e)

A solução geral de é:

a)

b)

c)

d) nenhuma das opções

e)

a) Determine a solução geral da equação diferencial:

b) Determine o valor de de modo que a solução da equação acima com condições iniciais e seja limitada no intervalo .