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Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Curvas Parametrizadas, Reta Tangente e Plano Normal

As curvas C 1 e C 2 parametrizadas respectivamente por

r 1 t = e t 2 - t 2 , sin ⁡ t π , t ∈ R

r 2 s = s - 1 2 + 1 , s , s ∈ R

Passam pelo ponto P = 1,1 . O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas C 1 e C 2 no ponto P é:

a) π

b) π 2

c) π 4

d) π 8

e) π 3

Passo 1

Antes de mais nada, se essas curvas têm o ponto P , então existem os parâmetros t 0 e s 0 tais que:

r 1 t 0 = r 2 s 0 = 1,1

Então, encontremos esses parâmetros!

Igualando r 1 t 0 a 1,1 , temos:

r 1 t 0 = e t 0 2 - t 0 2 , sin ⁡ t 0 . π = 1,1

Pela segunda coordenada, teremos:

sin ⁡ t 0 π = 1

E, pela primeira temos:

e t 0 2 - t 0 2 = 1

Logo, t 0 = 1 2 !

Da mesma forma, para r 2 , teremos:

s 0 - 1 2 + 1 , s 0 = 1,1

De onde temos que s 0 = 1 !

Passo 2

Com os valores dos parâmetros a postos, podemos derivar cada curva e ver quais são os vetores tangentes!

Para r 1 , teremos:

r 1 ' t = e t 2 - t 2 . 2 t - 1 2 , π cos ⁡ t π

Que, para t = 1 2 , é:

r 1 ' 1 2 = e 1 2 2 - 1 2 2 . 2 1 2 - 1 2 , π cos ⁡ π 2 = 1 2 , 0

Para r 2 , teremos:

r 2 ' t = 2 s - 1 1 , 1

Colocando s = 1 , teremos:

r 2 ' 1 = 2 1 - 1 1 , 1 = 0,1

Como um vetor tangente é 0,1 e o outro é 1 2 , 0 , então eles são perpendiculares, pois o produto escalar entre eles é zero: 0,1 . 1 2 , 0 = 0 + 0 = 0 .

Assim, θ = π 2 :D

Resposta

Letra b