EDO de 2ª Ordem não Homogênea
a) Determine a solução geral da equação diferencial:
b) Determine o valor de de modo que a solução da equação acima com condições iniciais e seja limitada no intervalo .
Passo 1
a) Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:
Beleza, encontramos esses valores para ! Assim, como o foi maior do que , a solução homogênea é:
Passo 2
Partamos agora para a solução particular , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é um caso particular de . Assim, não podemos dizer que é uma solução particular coerente.
Quando isto acontece, multiplicamos por , né? Então teremos que a forma da é:
Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:
Beleza?
Passo 3
Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:
Por igualdade de polinômios, vemos que para um lado ser igual ao outro, o deve ser , e teremos dos dois lados :D Como , então
Assim, a solução geral é:
Passo 4
b) Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos! Considerando que , temos:
Passo 5
Agora, vejamos o . Para isso, precisamos derivar , o que nos dá:
Colocando , teremos:
Passo 6
Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:
Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:
Substituindo esse valor para na primeira equação, temos:
Colocando esses dois valores na equação de , teremos:
Passo 7
Agora, vamos ver qual é o valor de para que a função seja limitada em ! Se observar bem , temos que ela só é limitada neste intervalo caso seja . Caso contrário, a função iria disparar para infinito, e não seria limitada! Para que ela seja limitada, então . Colocando , o fica:
Perceba que, quando colocamos , então , o que torna a função limitada para esta faixa de valores de :D
Resposta
a)
b)