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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

Curvas Parametrizadas, Comprimento de Arco

Considere a curva C parametrizada por r t = e t - t , 4 e t 2 , t ∈ R . O comprimento do arco de C entre os pontos r 0 e r 1 é:

a) e 2

b) e + 2

c) 3 e + 1

d) 2 e

e) e

Passo 1

O comprimento de arco é dado pela equação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Assim, para a reta r t = e t - t , 4 e t 2 , temos:

d x d t = e t - 1

d y d t = 2 e t 2

E, colocando esses valores na raiz,

e t - 1 2 + 2 e t 2 2 =

e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t =

e 2 t + 2 e t + 1

Opa, chegamos num produto notável! Olha ele aí:

e t + 1 2 = e t + 1

Passo 2

Agora é só resolver a integral! Como os limite dos parâmetro são 0 e 1 , teremos:

L = ∫ 0 1 e t + 1 d t =

e t + t 0 1 = e + 1 - 1 - 0 = e

E então o comprimento do nosso arco é e !

Resposta

Letra e (sim, só de ironia XD)

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