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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Curvas Parametrizadas, Reta Tangente e Plano Normal

Seja C a curva parametrizada por r t = sin ⁡ t , t 2 + 2 , t ,   t ∈ 0,2 π . Determine os valores de t 0 tais que a reta tangente à C no ponto r t 0 intercepta o eixo x .

a) 3

b) 5

c) 2 + 2

d) 2

e) 2 + 3

Passo 1

Queremos o valor do parâmetro para que a reta tangente cruze o eixo x , né? Para saber isso, antes de mais nada precisamos saber que reta é essa!

Para encontrarmos o vetor diretor da reta, basta pegar a curva e derivá-la:

r ' t = cos ⁡ t , 2 t , 1

E, para encontrar a equação da reta tangente em si, somamos esse vetor que acabamos de encontrar multiplicado por um parâmetro " s " ao ponto de tangência r t 0 . Fica:

α t 0 = r t 0 + s ∙ r ' t 0

Como

r t 0 = sin ⁡ t 0 , t 0 2 + 2 , t 0

E

r ' t 0 = cos ⁡ t 0 , 2 t 0 , 1

Vamos ter

α t 0 = sin ⁡ t 0 + s . cos ⁡ t , t 0 2 + 2 s . t + 2 , t 0 + s

E essa é a reta tangente no ponto no ponto t 0 de r !

Passo 2

Agora que temos essa reta tangente, podemos pensar em fazer alguma coisa com ela! Para descobrir o ponto no qual ela intercepta o eixo x , então precisamos saber o valor de t 0 que torna as duas últimas coordenadas iguais a 0 ! Ou seja, o ponto no qual existe apenas componente x !

Assim, para cada uma das componentes, teremos:

t 0 + s = 0

t 0 2 + 2 s . t + 2 = 0

Pela primeira equação, s = - t 0 . Colocando isso na segunda, temos:

t 0 2 - 2 . t 0 2 = - 2

t 0 = 2

E é isso aí amigos, questão detonada!

Resposta

Letra d

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