Equações Separáveis, Fator Integrante
Um tanque contém de água. Uma solução com concentração salina de é adicionada à taxa de . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque na taxa de Se é a quantidade de sal (em quilogramas) após minutos, qual é a equação diferencial que modela essa mistura?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
A missão aqui é modelar a quantidade de sal em função do tempo, certo? Temos agua com sal entrando numa certa taxa, e agua com sal saindo em outra taxa. Assim, a taxa de variação de sal da mistura do tanque é:
Ou seja, se é a quantidade de sal em função do tempo, então a sua taxa de variação em função do tempo, é a taxa de variação de entrada, , menos a taxa de saída, . Beleza?
Agora só precisamos descobrir qual é essa taxa de entrada e de saída!
Passo 2
Pelo o que o enunciado nos diz, nosso tanque tem litros inicialmente de agua pura. Ou seja,
Mas, de repente, começa a entrar agua com sal! Assim, esse volume passa a variar em função do tempo. Como entram litros por unidade de tempo (minutos), temos:
E, enquanto entram esses litros, saem pelo outro lado do tanque. Portanto, o saldo, em função do tempo, para o volume de agua do tanque é:
Show, volume já está equacionado!
Passo 3
Agora que sabemos qual é o volume de líquido em função do tempo, podemos definir a concentração observando a quantidade de sal! Pelo o que o enunciado fala, entram litros de agua por minuto com de sal. Assim, a quantidade de sal é:
Essa taxa de entrada de sal não depende do volume do tanque! Mas...
Passo 4
a taxa de saída depende! Ela que vamos analisar agora. Pelo o que nos disseram, depois que esses entram e são misturados no volume de agua do tanque, temos um fluxo de saída de da mistura.
Essa mistura, então, é todo o sal que entrou até o instante , ou seja , divididos pelo volume total do tanque neste mesmo instante, ! Assim, temos que a taxa de saída de sal é a concentração da mistura vezes o fluxo de saída:
Como ,
Passo 5
Fazendo agora , teremos:
Resposta
Letra