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P1 de Cálculo 2 da USP - 2017

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Cálculo 2 - USP

Seja C a interseção das superfícies

z = y 2 - x 2

z = 3 x 2 + 2 y 2 - 1

O vetor tangente a C no ponto P = 1 2 , 0 ,   - 1 4 tem a mesma direção do vetor

  1. v = ( 0,1 , 0 )
  2. v = ( 0,0 , 1 )
  3. v = ( 1,0 , 1 )
  4. v = ( 1,0 , 0 )

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Calcule, caso exista

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4

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Considere a curva

γ t = sin ⁡ t , sec 2 ⁡ t - 1 ,   t ∈ ] - π / 2   ,   π / 2 [  

A imagem de γ está contida na curva de nível:

  1. c = 1 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  2. c = - 1 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  3. c = 0 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  4. c = 2 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )

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Seja

f x , y = x y 2 + x 3 y 6 x 4 + y 8

Então, o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y )

  1. Existe e vale 0
  2. Existe e vale 1
  3. Não existe
  4. Existe e vale - 1

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Considere as seguintes curvas:

γ 1 t = t 2 + 2 , - t 2 ; t ∈ R

γ 2 t = - cos 2 ⁡ t + 2 , sin ⁡ t ; t ∈ R

γ 3 t = 3 2 ( e t + e - t ) , 3 2 ( e t - e - t )   ; t ∈ R

É correto afirmar que a imagem de

  1. γ 1 está contida na parábola y = x 2
  2. γ 2 está contida numa circunferência de raio 1 e centro em ( 2,0 )
  3. γ 3 está contida num ramo de uma hipérbole que passa em 3 2 , 0
  4. γ 3 está contida num ramo de uma hipérbole que passa em 3 , 0

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Considere as curvas

γ 1 t = t ,   2 t ,   3 t 2

γ 2 t = t , 1 , t

t ∈ R

Dadas as superfícies

S 1   : z = y 2 - x 2

S 2   : z 2 = y 2 + x 2

S 3   : z 2 = y 2 + x 2 - 1

É correto afirmar que:

  1. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 1 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 2
  2. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 1 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 3
  3. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 2 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 3
  4. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 3 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 1

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Considere a função

f x , y = x 2 - y 2 + 1 x 2 + y 2 - 1

  1. Determine o domínio de f
  2. Encontre uma equação para as curvas de nível c = - 1 e c = 0 de f . Esboce tais curvas no sistema cartesiano.
  3. Existe lim x , y → 0,1 ⁡ f ( x , y ) ? Justifique sua resposta.

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2015P1 - 2018P2 - 2018P1 - 2019P3 - 2015P3 - 2016P3 - 2017Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano TangenteListas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e ContinuidadeListas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas