Considere as seguintes curvas:

γ₁(t) = (t² + 2, -t²); t ∈ R

γ₂(t) = -cos²(t) + 2, sen(t); t ∈ R

γ₃(t) = (raiz(3)/2) * (e^t + e^(-t)), (raiz(3)/2) * (e^t - e^(-t)); t ∈ R

É correto afirmar que a imagem de

  1. γ₁ está contida na parábola y = x^2
  2. gamma_2 está contida numa circunferência de raio 1 e centro em (2,0)
  3. γ₃ está contida num ramo de uma hipérbole que passa em (raiz(3 / 2), 0)
  4. gamma_3 está contida num ramo de uma hipérbole que passa em (raiz(3), 0)

Passo 1

Na verdade, o que essa questão quer de nós, é que a gente saiba dizer se a parametrização dessas curvas é igual a parametrização das curvas as que ela se referiu nas alternativas: parábola, circunferência e hipérbole.

Vamos relembrar essas parametrizações então?

A parábola a gente parametriza como uma função explícita, assim se temos

y = x 2

Podemos dizer que

x t = t

E teremos

y t = t 2

E a parametrização da parábola será

x t = t

y t = t 2

t ∈ R

Passo 2

A parametrização da circunferência de raio r e centro em ( x 0 , y 0 ) todo mundo já tá careca de saber:

x t = x 0 + r cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t

t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 3

Agora, a parametrização da hipérbole ninguém lembra né?!

Pois é, mas vamos relembrar aqui:

A parametrização da hipérbole centrada em ( x 0 , y 0 ) é:

x t = cosh ⁡ t + x 0

y t = s e n h t + y 0

t ∈ R

Para o ramo da hipérbole H situada em x > 0

E

x t = - cosh ⁡ t + x 0

y t = s e n h t + y 0

t ∈ R

Para o ramo da hipérbole H situada em x < 0 .

Passo 4

Beleza, agora vamos olhar para as parametrizações que a questão deu pra gente e ver se elas se parecem com algumas dessas parametrizações que relembramos aqui:

γ 1 t = t 2 + 2 , - t 2 ; t ∈ R

γ 2 t = - cos 2 ⁡ t + 2 , sin ⁡ t ; t ∈ R

γ 3 t = 3 2 ( e t + e - t ) , 3 2 ( e t - e - t )   ; t ∈ R

WTF??

Nada disso é parametrização de parábola, nem de circunferência, nem de hipérbole. E agora??

Calma! Olha de novo! Tem certeza que não?

Beleza, você tem mesmo razão quando diz que nada disso é parametrização de parábola, nem de circunferência. Agora, e de hipérbole?

Eu sei que não tem explicitamente nenhum cosseno hiperbólico nem seno hiperbólico aí. Mas e se eles estiverem disfarçados?

Pois é, eles estão!

Isso porque

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

senh ⁡ t = e t - e - t 2

Então, na parametrização da nossa curva γ 3 , temos sim seno e cosseno hiperbólicos.

Isso significa que a imagem de γ 3 está numa hipérbole. Beleza, mas está numa hipérbole que passa em 3 2 , 0 ou numa hipérbole que passa em 3 , 0 ?

Passo 5

Vamos ver. Substituindo o cosseno e o seno hiperbólicos na parametrização, temos:

γ 3 t = 3 cosh ⁡ t , 3 senh ⁡ t ; t ∈ R

Agora, comparando com a parametrização da hipérbole, vemos que essa é a parametrização do ramo da hipérbole situada em x > 0 e que passa por 3 , 0 , porque aquele 2 que tava no denominador, na verdade, está “dentro” do seno e cosseno hiperbólicos.

Resposta

L e t r a   d

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