Considere as seguintes curvas:
É correto afirmar que a imagem de
- está contida na parábola
- está contida numa circunferência de raio e centro em
- está contida num ramo de uma hipérbole que passa em
- está contida num ramo de uma hipérbole que passa em
Passo 1
Na verdade, o que essa questão quer de nós, é que a gente saiba dizer se a parametrização dessas curvas é igual a parametrização das curvas as que ela se referiu nas alternativas: parábola, circunferência e hipérbole.
Vamos relembrar essas parametrizações então?
A parábola a gente parametriza como uma função explícita, assim se temos
Podemos dizer que
E teremos
E a parametrização da parábola será
Passo 2
A parametrização da circunferência de raio e centro em todo mundo já tá careca de saber:
Passo 3
Agora, a parametrização da hipérbole ninguém lembra né?!
Pois é, mas vamos relembrar aqui:
A parametrização da hipérbole centrada em é:
Para o ramo da hipérbole situada em
E
Para o ramo da hipérbole situada em .
Passo 4
Beleza, agora vamos olhar para as parametrizações que a questão deu pra gente e ver se elas se parecem com algumas dessas parametrizações que relembramos aqui:
WTF??
Nada disso é parametrização de parábola, nem de circunferência, nem de hipérbole. E agora??
Calma! Olha de novo! Tem certeza que não?
Beleza, você tem mesmo razão quando diz que nada disso é parametrização de parábola, nem de circunferência. Agora, e de hipérbole?
Eu sei que não tem explicitamente nenhum cosseno hiperbólico nem seno hiperbólico aí. Mas e se eles estiverem disfarçados?
Pois é, eles estão!
Isso porque
Então, na parametrização da nossa curva , temos sim seno e cosseno hiperbólicos.
Isso significa que a imagem de está numa hipérbole. Beleza, mas está numa hipérbole que passa em ou numa hipérbole que passa em ?
Passo 5
Vamos ver. Substituindo o cosseno e o seno hiperbólicos na parametrização, temos:
Agora, comparando com a parametrização da hipérbole, vemos que essa é a parametrização do ramo da hipérbole situada em e que passa por , porque aquele 2 que tava no denominador, na verdade, está “dentro” do seno e cosseno hiperbólicos.