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Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

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Enunciado

Considere a curva

γ t = sin ⁡ t , sec 2 ⁡ t - 1 ,   t ∈ ] - π / 2   ,   π / 2 [  

A imagem de γ está contida na curva de nível:

  1. c = 1 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  2. c = - 1 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  3. c = 0 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )
  4. c = 2 da função f x , y = ( y + 1 ) ( x 2 - 1 )

Passo 1

Vamos mostrar que γ é curva de nível de f x , y .

Se isso for verdade, então para qualquer t , devemos ter que f γ t = c o n s t a n t e .

Partiu substituir γ em f x , y !

f x , y = y + 1 x 2 - 1

f γ t = sec 2 ⁡ t - 1 + 1 sin 2 ⁡ t - 1

f γ t = sec 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1

Como a secante é o inverso do cosseno, então

f γ t = 1 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1

Além disso, da relação fundamental da trigonometria, temos

cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ⇒ - cos 2 ⁡ t = sin 2 ⁡ t - 1

Substituindo na expressão de f γ t :

f γ t = 1 cos 2 ⁡ t - cos 2 ⁡ t

f γ t = - 1

Ou seja, a curva é de nível c = - 1 ! Show, apenas isso!

Resposta

L e t r a   b