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Exercícios Resolvidos de Introdução às Curvas e Domínio de Curvas

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Enunciado

Considere as curvas

γ 1 t = t ,   2 t ,   3 t 2

γ 2 t = t , 1 , t

t ∈ R

Dadas as superfícies

S 1   : z = y 2 - x 2

S 2   : z 2 = y 2 + x 2

S 3   : z 2 = y 2 + x 2 - 1

É correto afirmar que:

  1. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 1 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 2
  2. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 1 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 3
  3. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 2 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 3
  4. A imagem de γ 1 ( t ) está contida em S 3 e a imagem de γ 2 ( t ) está contida em S 1

Passo 1

Para a imagem de uma curva estar contida numa superfície que é gráfico de uma função, precisamos que

f x , y , z = f γ t

Isto é, a curva deve atender a expressão da superfície que é gráfico da função.

Vamos então testar isso para as duas curvas nas três superfícies.

Passo 2

Começando pela curva γ 1

γ 1 t = t ,   2 t ,   3 t 2

Substituindo na superfície S 1 :

S 1   : z = y 2 - x 2 ⇒ 3 t 2 = 2 t 2 - t 2

3 t 2 = 4 t 2 - t 2   ⇒ O K

Opa, a curva γ 1 já atende a expressão da superfície S 1 . Isso significa que a imagem de γ 1 está contida na superfície S 1 !

Beleza, então nem precisamos mas testar a curva γ 1 ( t ) .

Passo 3

Vamos então para a curva γ 2 .

γ 2 t = t , 1 , t

Substituindo na superfície S 1 :

S 1   : z = y 2 - x 2 ⇒ t = 1 2 - t 2

t = 1 - t 2   ⇒ Ñ O K

Substituindo na superfície S 2 :

S 2   : z 2 = y 2 + x 2 ⇒ t 2 = 1 2 + t 2

t 2 = 1 + t 2 ⇒ Ñ O K

Substituindo na superfície S 3 (agora tem que dar certo né?):

S 3   : z 2 = y 2 + x 2 - 1 ⇒ t 2 = 1 2 + t 2 - 1

t 2 = 1 + t 2 - 1   ⇒ O K

Uhul, deu certo mesmo! Então, a imagem da curva γ 2 está contida na superfície S 3 .

Resposta

L e t r a   b

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1