UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2d
(2) Seja
d) é derivável em ?
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema temos que dizer se a função definida por partes é derivável em .
Como fazemos isso? 😬
Para uma função ser considerada derivável, ela deve cumprir alguns requisitos...
Primeiro de tudo ela deve ser contínua, ou seja, não pode haver nenhuma indeterminação em seu domínio e também a função não pode tender a em um ponto .
Bora começar! 😉
Passo 2
Para ser contínua, as partes de tem que coincidirem quando tende a .
Olhando para as partes separadamente, vemos que é constante para todo , que é justamente o intervalo em que assume esse valor, já quando , a função também é contínua em todo o seu intervalo, logo a única possível descontinuidade é na mudança de comportamento da função quando .
Pra isso temos que verificar se ambas as partes tendem ao mesmo resultado em , portanto temos que aplicar o limite de para e verificar se é igual a .
De maneira mais direta, temos que verificar se
Se esse resultado for verdadeiro, é contínua em todo seu domínio.
Se substituirmos diretamente, vamos cair em uma indeterminação , então pra contornar essa situação, vamos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador do limite.
Pela regra da cadeia no numerador e pelo método de derivação polinomial no denominador, temos
Agora sim fazendo , chegamos em
Portanto a igualdade foi satisfeita, logo é continua em todo , logo, como os limites coincidiram também é derivável.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
É derivável.