Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Ver Teoria
Exercício 100123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 4

(4) Seja f x , y = x y 2 - y x 2 + x e determine os pontos em que o plano tangente ao gráfico de f é “horizontal” em R 3 (isto é, o plano é ortogonal ao eixo z ).

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter os pontos da função f x , y = x y 2 - y x 2 + x em que o plano tangente é paralelo ao plano x y .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

A equação do plano tangente a uma função é dada por

z = z 0 + f x a , b x - a + f y a , b y - b

Analisando essa equação, vemos que para que o plano tangente de f seja paralelo ao plano x y , os termos f x a , b e f y a , b devem ser iguais a 0 .

Portanto o que temos que fazer é encontrar os pontos a , b em que f x a , b = f y a , b = 0

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de f , temos

f x x , y = ∂ x y 2 - y x 2 + x ∂ x = y 2 - 2 x y + 1

f y x , y = ∂ x y 2 - y x 2 + x ∂ y = 2 x y - x 2

Se f x x , y = 0 e f y x , y = 0 , então da segunda equação tiramos que

2 x y - x 2 = 0 → 2 x y = x 2

y = x 2

Assim, substituindo na primeira equação...

y 2 - 2 x y + 1 = 0 → x 2 2 - 2 x x 2 + 1 = 0

x 2 4 - x 2 + 1 = 0 → - 3 4 x 2 = - 1

x 2 = 4 3

x = ± 2 3 3

Como y = x 2 , então

y = ± 3 3

Portanto temos dois pontos em que o plano tangente de f é ortogonal a z ... esses pontos são

P 1 = 2 3 3 , 3 3 ,     P 2 = - 2 3 3 , - 3 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

P 1 = 2 3 3 , 3 3 ,     P 2 = - 2 3 3 , - 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2 passa pela origem.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.3 – z = x y ,( 1,1 , 1 )