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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2b

(2) Seja

f x , y = sin ⁡ x y x ,     s e   x ≠ 0 y ,     s e   x = 0

b) Calcule as derivadas parciais f x , f y em 0,0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y no ponto 0,0 .

Já vimos anteriormente que a função é continua em todo o domínio, portanto, como a função é definida por partes, para calcular as derivadas de f calculamos a derivada de cada parte.

Parece de boa? 😉

Para calcular a derivada parcial de f em relação a x , temos que considerar y uma constante e derivar normalmente e a mesma coisa para a derivada de y .

Depois de calculada as derivadas, substituímos o ponto 0,0 e vemos o resultado que obtemos.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos derivar f com relação a x

f x x , y = ∂ sin ⁡ x y x ∂ x ,     s e   x ≠ 0 ∂ y ∂ x ,     s e   x = 0

Pela regra do quociente, temos

∂ sin ⁡ x y x ∂ x = ∂ sin ⁡ x y ∂ x · x - sin ⁡ x y · ∂ x ∂ x x 2

∂ sin ⁡ x y x ∂ x = y cos ⁡ x y · x - sin ⁡ x y · 1 x 2

∂ sin ⁡ x y x ∂ x = x y cos ⁡ x y - sin ⁡ x y x 2

Já na outra parte, como y não depende de x , então

∂ y ∂ x = 0

Logo, a derivada de f com relação a x é

f x x , y = x y cos ⁡ x y - sin ⁡ x y x 2 ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para y

f y x , y = ∂ sin ⁡ x y x ∂ y ,     s e   x ≠ 0 ∂ y ∂ y ,     s e   x = 0

Pela regra da cadeia...

∂ sin ⁡ x y x ∂ y = cos ⁡ x y

Pelo método de derivação polinomial

∂ y ∂ y = 1

Assim, f y é dado por

f y x , y = cos ⁡ x y ,     s e   x ≠ 0 1 ,     s e   x = 0

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora o próximo passo é aplicar o ponto 0,0 nas derivadas.

Na derivada f x não podemos aplicar o ponto diretamente pois iriamos cair em uma indeterminação 0 0 então o que temos que fazer é calcular o limite para x , y → 0,0

lim x , y → 0,0 ⁡ x y cos ⁡ x y - sin ⁡ x y x 2 = 0

Portanto, substituindo o ponto 0,0 em f x , temos

f x 0,0 = 0 ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

f x 0,0 = 0

Para f y , podemos aplicar o ponto diretamente

f y 0,0 = cos ⁡ 0 ,     s e   x ≠ 0 1 ,     s e   x = 0

f y 0,0 = 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x 0,0 = 0

f y 0,0 = 1

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