UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2a
(2) Seja
a) Determine em que pontos é contínua.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema foi dado uma função definida por partes, onde se , e se , .
A partir daí queremos saber em quais pontos é contínua.
Tem ideia de como fazer isso? 😬
Para ser contínua, as partes de tem que coincidirem quando tende a .
Olhando para as partes separadamente, vemos que é constante para todo , que é justamente o intervalo em que assume esse valor, já quando , a função também é contínua em todo o seu intervalo, logo a única possível descontinuidade é na mudança de comportamento da função quando .
Pra isso temos que verificar se ambas as partes tendem ao mesmo resultado em , portanto temos que aplicar o limite de para e verificar se é igual a .
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
De maneira mais direta, temos que verificar se
Se esse resultado for verdadeiro, é contínua em todo seu domínio.
Se substituirmos diretamente, vamos cair em uma indeterminação , então pra contornar essa situação, vamos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador do limite.
Pela regra da cadeia no numerador e pelo método de derivação polinomial no denominador, temos
Agora sim fazendo , chegamos em
Portanto a igualdade foi satisfeita, logo é continua em todo
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
é continua em todo