UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 – Profº Leonardo – 2018.2, Questão 3a
Sejam diferenciáveis e definida em todo . Sobre se sabe que:
Considere a composta
- Determine a matriz jacobiana no ponto
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?
Bom, para resolvermos a matriz jacobiana DF no ponto pedido, primeiro a gente precisa interpretar qual seria a nossa F
Pelo enunciado:
Reparem que temos aqui uma função composta, então como seria a ideia de uma matriz jacobiana para uma função composta? Se a gente pegar um exemplo genérico, seria:
Show, se a gente for aplicar a mesma ideia pra do enunciado, vamos ter:
Ok, já temos a nossa estrutura, agora vamos calcular o valor de cada função no ponto pedido do enunciado.
Passo 2
Vamos lá, o enunciado pede o seguinte ponto:
Reparem que a gente tem a seguinte função composta:
E também temos a função do nosso enunciado:
Vamos aplicar o ponto na nossa :
Se a gente substituir na nossa formula composta:
E se a gente aplicar a mesma ideia para a matriz jacobina que queremos do Passo 1:
Show, agora precisamos ir atrás do valor de .
Passo 3
Beleza, agora vamos atrás do . Para nossa sorte, o valor é dado no enunciado:
Se a gente substituir no valor da :
Agora se a gente substituir no valor da nossa matriz jacobiana:
Passo 4
Show galera, já temos a fórmula da nossa matriz jacobiana:
Para nossa sorte, o enunciado já nos deu quase todos os valores:
Substituindo:
O enunciado não nos deu a jacobiana de . Então vamos ter que calcular:
Derivando:
Substituindo o valor do ponto :
Substituindo na Jacobiana:
Substituindo na fórmula geral:
Vamos calcular o produto das 2 primeiras matrizes:
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