(2) Seja

f(x, y) = { (sinais(xy)) / x , se x ≠ 0, y , se x = 0 }

c) Generalizando b) acima, calcule as derivadas parciais em todos os pontos (0, y) em que x = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular as derivadas parciais de f no ponto genérico 0 , y .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada parcial de f em relação a x , temos que considerar y uma constante e derivar normalmente. Para a derivada de y , fazemos a mesma coisa ao contrário.

Depois de calculadas as derivadas, substituímos o ponto 0 , y e vemos o resultado que obtemos.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos derivar f com relação a x

f x x , y = { ∂ s i n s i n   x y   x ∂ x ,     s e   x ≠ 0   ∂ y ∂ x ,     s e   x = 0  

Pela regra do quociente, temos

∂ s i n s i n   x y   x ∂ x = ∂ s i n s i n   x y   ∂ x · x - s i n s i n   x y   · ∂ x ∂ x x 2

∂ s i n s i n   x y   x ∂ x = y c o s c o s   x y   · x - s i n s i n   x y   · 1 x 2

∂ s i n s i n   x y   x ∂ x = x y c o s c o s   x y   - s i n s i n   x y   x 2

Já na outra parte, como y não depende de x , então

∂ y ∂ x = 0

Logo, a derivada de f com relação a x é

f x x , y = { x y c o s c o s   x y   - s i n s i n   x y   x 2 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para y

f y x , y = { ∂ s i n s i n   x y   x ∂ y ,     s e   x ≠ 0   ∂ y ∂ y ,     s e   x = 0  

Pela regra da cadeia...

∂ s i n s i n   x y   x ∂ y = c o s c o s   x y  

Pelo método de derivação polinomial

∂ y ∂ y = 1

Assim, f y é dado por

f y x , y = { c o s c o s   x y   ,     s e   x ≠ 0   1 ,     s e   x = 0  

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora substituindo o ponto 0 , y nas derivadas, vamos obter

f x 0 , y = { 0 y c o s c o s   0 y   - s i n s i n   0 y   0 2 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

f x 0 , y = { 0 0 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

Nesse caso, caímos em uma indeterminação 0 / 0 , então podemos aplicar o limite desse termo e aplicar a regra de L ' H o p i t a l

x y c o s c o s �� x y   - s i n s i n   x y   x 2   = ∂ x y c o s c o s   x y   - s i n s i n   x y   ∂ x ∂ x 2 ∂ x  

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos

- x y 2 s i n s i n   x y   2 x  

- y 2 s i n s i n   x y   2   = - y 2 s i n s i n   0   2 = 0

Com isso, chegamos em

f x 0 , y = { 0 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

f x 0 , y = 0

Para f y , temos

f y 0 , y = { c o s c o s   0   ,     s e   x ≠ 0   1 ,     s e   x = 0   → f y 0 , y = { 1 ,     s e   x ≠ 0   1 ,     s e   x = 0  

f y 0 , y = 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f x 0 , y = 0

f y 0 , y = 1

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