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Listas FVV - GRADMAT de Funções de Várias Variáveis da UFABC - Lista 7 - Integrais Triplas

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Funções de Várias Variáveis - UFABC

2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

a) A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.

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2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

b) A parte da superficie z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

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2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

c) A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

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2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

d) A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x e acima do plano x y .

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Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

  1. ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 x + z 6 x y d y d x d z

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Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

b ) ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d y d x d z

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Faça um esboço do solido cujo o volume é dado pelas integrais abaixo e calcule tais integrais.

a )   ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ

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Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

c ) ∭ R y d v onde R é a região delimitada pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0   e   2 x + 2 y + z = 4

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Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

d ) ∭ R y d v onde R é a região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9   e pelos planos x = 0 , y = 3 x   e   z = 0

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Utilize as coordenadas cilíndricas

x = r c o s ( θ ) y = r s e n ( θ ) z = z

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ , r s e n θ , z r d V

Onde R = (   x = r c o s ( θ ,   y = r s e n θ , z   )   ∈ R / ( r , θ , z )   ∈ R '

a )   ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2 d z d y d x

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Faça um esboço do solido cujo o volume é dado pelas integrais abaixo e calcule tais integrais.

a )   ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 s e n ( φ ) d ρ d θ d φ

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Utilize as coordenadas cilíndricas

x = r c o s ( θ ) y = r s e n ( θ ) z = z

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ , r s e n θ , z r d V

Onde R = (   x = r c o s ( θ ,   y = r s e n θ , z   )   ∈ R / ( r , θ , z )   ∈ R '

b )   ∭ R x 2 + y 2 d V   onde R é a região contida dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 2 = 16 entre os planos z=-5 até z=4

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Utilize as coordenadas cilíndricas

x = r c o s ( θ ) y = r s e n ( θ ) z = z

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ , r s e n θ , z r d V

Onde R = (   x = r c o s ( θ ,   y = r s e n θ , z   )   ∈ R / ( r , θ , z )   ∈ R '

b )   ∭ R x d V   onde R é a região contida dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 2   e x 2 + y 2 = 2 2 , entre os planos z=0 até z=x+y+3

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Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b ) ∭ R e x 2 + y 2 + z 2   d v   onde R é a região hemisférica que está no primeiro octante e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9

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Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b )   ∭ R x d V   onde R é a região contida dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 2   e x 2 + y 2 = 2 2 , entre os planos z=0 até z=x+y+3

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Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b ) ∭ R x 2 + y 2 d v   onde R é a região hemisférica que está acima do plano x , y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1  

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Utilize as coordenadas cilíndricas

x = r c o s ( θ ) y = r s e n ( θ ) z = z

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ , r s e n θ , z r d V

Onde R = (   x = r c o s ( θ ,   y = r s e n θ , z   )   ∈ R / ( r , θ , z )   ∈ R '

b )   ∭ R x d V   onde R é a região contida dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 2   e x 2 + y 2 = 2 2 , entre os planos z=0 até z=x+y+3

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Determine o Determinante Jacobiano da transformação:

c )   x = α s e n ( β )   ,   y = α c o s ⁡ ( β )

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Determine o Determinante Jacobiano da transformação:

a )   x = u u + v   e   y = v u - v

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Determine o Determinante Jacobiano da transformação:

a )   x = u 2 + v 2   e   y = u 2 - v 2

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Determine o Determinante Jacobiano da transformação:

d )   x = e u - v   ,   y = e u + v   e   e u + v + w

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Listas de Exercícios Resolvidos

Listas FVV - GRADMAT - Lista 6 - Integrais DuplasListas FVV - GRADMAT - Lista 5 - Máximos e Mínimos, LagrangeListas FVV - GRADMAT - Lista 4 - Gradiente e Derivada DirecionalListas FVV - GRADMAT - Lista 3 - DiferenciabilidadeListas FVV - GRADMAT - Lista 2 - Limites e ContinuidadeListas FVV - GRADMAT - Lista 1 - Domínios, Gráficos e Curvas de Nível