Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:

onde é a região delimitada pelo cilindro e pelos planos

Amigão para resolver um problemão desses precisamos primeiramente montar a região de integração.

Eu sei, eu sei, desenhar essas superfícies 3D é o pipoco do trovão de chato.

Mass nessa aqui a gente não precisa disso tudo, belezinha? Tem um macete.

Geralmente eu tento resolver assim, primeiramente vamos desenhar o domínio da superfície no plano belezinha?

Como faz isso? Bem, fazendo nas equações e vendo o que sobra delas, o só existe naquele plano ali. Então temos a seguinte equação:

Então no plano tua função é algo do tipo:

E como a questão diz que está restrita aos planos e então a superfície está no primeiro octante e para finalizar temos que as variáveis estão variando entre:

Agora falta o nosso olha só ele começa no 0 como é informado na questão e ele vai crescendo até chegar no plano como também é informado na questão. Porém isolando o nosso temos que .

Logo temos que nossa integral é igual a:

Agora vamos para a parte mais chatinha que é resolver as integrais, eeeeeeeentão vamos lá.

Primeiro resolvendo da integral mais interna:

Aplicando os limites de integração e resolvendo as demais integrais temos que:

E finalmente a integral final se torna:

E para resolver essa integral vamos realizar a famosa substituição, porém dessa vez vai ser uma substituição diferente.

Uma coisa assim:

Quando temos que o , logo .

Porém quando , temos que , logo .

Tomando a diferencial de temos:

Logo nossa integral se torna:

Lembrando da identidade trigonométrica , essa integra se torna:

Utilizando a identidade:

Temos que: