UFABC-Função de várias variáveis - Lista 7 integrais triplas
Utilize as coordenadas esféricas
e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:
Onde }
onde R é a região hemisférica que está acima do plano e abaixo da esfera
Passo 1
Bem pessoas, essa é uma questão padrão de integração tripla. Ele deu não integral bonitinha, então precisamos desenhar resolver utilizando a mudança de coordenadas para as esféricas.
Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.
Você lembra deles?
CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?
Então vaaaaaaaaaaaamos lá
Passo 2
Primeiramente, precisamos entender qual é a região de integração. A região é toda parte superior de uma esfera de raio 1, ou seja o gráfico deve ser algo assim:
Analisando a figura vemos que os ângulos variam da seguinte forma:
E com o raio variando de 0 até 1.
Bem utilizando as coordenadas esféricas e substituindo na nossa integral, temos que:
DICA: ahhh lembrar que .
Passo 3
Como os limites de integração não depende das variáveis, não é importante definir a ordem que você integração. Então vamos de dentro para fora só para manter a metodologia.
Reorganizando os integrado, pois a ordem de integração nesse caso não importa como já foi comentado.
Porém temos que:
Logo, temos que: