UFABC-Função de várias variáveis - Lista 7 integrais triplas – Questão 5b
Faça um esboço do solido cujo o volume é dado pelas integrais abaixo e calcule tais integrais.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho?
Nessa questão temos que calcular a seguinte integral tripla:
Mas não é só isso... também precisamos desenhar o sólido que possui o volume calculado através dessa integral. Como podemos fazer isso?
Bem pessoas, essa é uma questão quase padrão de integração tripla. Ele deu a integral bonitinha, mas precisamos montar a superfície, dessa vez não tem como fugir, portanto, precisamos montar para após isso resolver.
Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.
Você lembra deles?
CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?
Então vaaaaaaaaaaaamos lá
Passo 2
Amigão para resolver isso aqui primeiramente vamos precisar identificar uma coisa, os eixos estão em coordenadas não cartesianas. Isso indica que possivelmente esse solido está em coordenadas esféricas e isso é mais indicado ainda porque e a jacobiana das coordenadas esféricas.
- Analisando o nosso problema temos que teta varia de até . Logo, temos que o nosso domínio polar é de uma circunferência.
- Analisando o nosso problema novamente temos que varia de até . Logo, temos que o nosso ângulo azimutal é uma parábola.
- E para finalizar temos que o vai de 0 até 3.
Juntando essas informações, isso tudo indica que nós temos uma espécie de um tronco de esfera, ou seja, algo assim:
Passo 3
Agora vamos para a parte mais chatinha que é resolver as integrais, eeeeeeeentão vamos lá.
Primeiro resolvendo da integral mais interna:
Vemos que nosso problema não depende da variável nos domínios de integração e nem no integrando, então podemos resolver ela logo e deixar da seguinte forma: