UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 7 – Integrais Triplas. Questão 2c.
2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis definida numa região é dada pela fórmula
Se é dada implicitamente pela equação , então
onde e supondo que nesse caso no interior de . Determine a área das seguintes superfícies:
c) A parte da esfera que está dentro do paraboloide .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, vamos calcular a área da superfície da esfera que está dentro do paraboloide .
O que?? Não entendi nada! 🤔
Calma! Pra isso, vamos usar uma equação que foi dada no enunciado. No caso, como temos uma função , usamos
Pra isso, vamos calcular o gradiente de obter seu módulo. Também queremos o modulo da derivada de com relação a .
Depois de tudo isso calculado, encontramos os limites de integração para a região e calculamos a integral!
Entendeu? Vamos começar que tudo vai ficar claro. 😁
Passo 2
Primeiro vamos calcular o gradiente de . Lembra como faz isso?
Lembrando que nossa função é
Logo, derivando em relação a , temos
Com relação a , temos
E com relação a
Com isso, nosso gradiente será
Tirando o modulo desse vetor, temos
Com isso, podemos montar nossa função de integração, como
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos observar a região para definir os limites de integração. Pra isso, temos que encontrar os limites de e quando intercepta .
Substituindo a primeira equação na segunda, temos
Ou seja, projetando o paraboloide quando no plano , vamos obter
Ou seja, uma circunferência de raio .
Lembre-se que quando se trata de uma região de integração redonda, usamos coordenadas cilíndricas para definir os limites de integração.
Nesse caso, como o raio da circunferência é , os limites de integração em é de a .
Também como estamos de olhos em toda a circunferência, os limites de integração em vai de a .
Como , nossa função de integração será
Convertendo para coordenadas polares, onde , temos
Com isso, sem esquecer do jacobiano , nossa integral será
Agora já temos mais familiaridade, não é?
Passo 4
Primeiro integramos com relação a
Pelo método de substituição , onde , e
Pelo método de integração polinomial, onde somamos no expoente de e dividimos pelo resultado da soma.
Substituindo de volta
Aplicando os limites de integração no resultado
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Agora, com base no resultado, integramos com relação a
Como nossa função de integração é apenas uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.
Aplicando os limites de integração, temos
Com isso, descobrimos que a área da esfera dentro do paraboloide é de !
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
