UFABC-Função de várias variáveis - Lista 7 integrais triplas
Utilize as coordenadas esféricas
e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:
Onde }
onde R é a região hemisférica que está no primeiro octante e abaixo da esfera
Passo 1
Bem pessoas, essa é uma questão padrão de integração tripla. Ele deu não integral bonitinha, então precisamos desenhar resolver utilizando a mudança de coordenadas para as esféricas.
Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.
Você lembra deles?
CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?
Então vaaaaaaaaaaaamos lá
Passo 2
Primeiramente, precisamos entender qual é a região de integração. A região é toda parte superior de uma esfera de raio 1, ou seja, o gráfico deve ser algo assim:
Analisando a figura vemos que os ângulos variam da seguinte forma:
E com o raio variando de 0 até 3.
Bem utilizando as coordenadas esféricas e substituindo na nossa integral, temos que:
DICA: ahhh lembrar que .
Passo 3
Como os limites de integração não depende das variáveis, não é importante definir a ordem que você integração.
Utilizando o seguinte resultado:
Temos que:
Para resolver essa integral vamos utilizar a integração por partes, vamos definir e .
Logo temos que:
E para resolver essa integral vamos precisar de integração por partes mais uma vez, chamando e . Temos:
Substituindo na integral anterior
E substituindo na primeira integral, finalmente temos a solução