Listas FVV - GRADMAT de Funções de Várias Variáveis da UFABC - Lista 4 - Gradiente e Derivada Direcional

10 - Uma função com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace é dita harmônica. Qual das funções abaixo são harmônicas?

a) ;

10 - Uma função com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace é dita harmônica. Qual das funções abaixo são harmônicas?

b) ;

11 - Determine o maior conjunto aberto no qual nos seguintes casos:

a) ;

11 - Determine o maior conjunto aberto no qual nos seguintes casos:

b) ;

11 - Determine o maior conjunto aberto no qual nos seguintes casos:

c) .

12 - Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .

a) Determine o valor do campo elétrico em .

12 - Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .

b) Mostre que, em cada ponto no plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor .

13 - A equação

onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

a) Mostre que e satisfazem a equação da onda.

13 - A equação

onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

b) Mostre que uma função da forma satisfaz a equação da onda.

13 - A equação

onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

c) Confirme que satisfaz a equação da onda com , e então use identidades trigonométricas apropriadas para expressar essa função na forma .

14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.

a) Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?

14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.

b) Se a espaço nave viaja a e unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item (a)?

14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.

c) Infelizmente, a blindagem da espaçonave se danificará se a taxa de variação da temperatura for inferior a graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos à sua espaçonave, a partir de , com a velocidade do item (b)?

15 - Se e são funções das variáveis e de classe , e satisfazem as equações de CauchyRiemann

,

mostre que e são harmônicas.

2 - Considere a superfície .

b) Determine as equações paramétricas da reta que é normal à superfície no ponto .

3 - Determine a derivada direcional de em na direção do vetor :

a) , , ;

3 - Determine a derivada direcional de em na direção do vetor :

b) , , .

Seja

Se calcule e

Seja

Mostre que

Seja

Mostre que

Dado aberto, seja diferenciavel em Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de f em é máxima é ao longo de

5 - Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre:

a, ;

5 - Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre:

b) , .

6 - Suponha que a função de duas variáveis , diferenciável no ponto , satisfaz e , onde e . Determine:

a) ;

b) ;

c) A derivada direcional de em ao longo do vetor dado pelo segmento de reta orientado com ponto inicial e ponto final dado pela origem.

7 - Determine , , e para cada uma das seguintes funções:

a)

7 - Determine , , e para cada uma das seguintes funções:

b)

7 - Determine , , e para cada uma das seguintes funções:

c)

Seja

Se calcule e

Seja

Mostre que

Seja

Mostre que

Seja

O que aconteceu para que as derivadas mistas não fossem iguais?

Sejam , . Determine e de duas maneiras:

1. Expressando em termos de e s

Sejam , . Determine e de duas maneiras:

1. Usando a regra da cadeia

A Lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade da força exercida por um corpo e massa sobre um corpo de massa é

Em que é a constante gravitacional e é a distância entre os corpos. Calcule e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?

O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função

Em que é medido em horas. No instante a população é de 20 células e está crescendo a uma taxa de . Encontre os valores de e . De acordo com este modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo?

Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a e o outro para oeste a . A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Um carro A está se movimentando para o oeste a 90km/h e o carro B está se movimentando para o norte a 100 km/h. Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxas os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da interseção?

Um caminhão descarrega areia a uma taxa de 3m³/min de tal forma que a areai descarregada tem um formato de cone em que a altura é igual ao diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura for igual a 3m.