P3 de Probabilidades da USP - 2019

01) Um sistema possui componentes independentes que possuem tempo de vida distribuído exponencialmente com parâmetro . Para o sistema falhar, os dois primeiros devem falhar ou o terceiro deve falhar, já que os dois primeiros estão associados em paralelo e este conjunto está em série com o terceiro. A probabilidade do sistema durar mais do que é dada por:

A)

B)

C)

D)

E)

Duas variáveis aleatórias independentes possuem as respectivas funções densidades de probabilidades marginais:

0, caso contrário;

0, caso contrário.

O valor deé:

03) Sejam e duas variáveis aleatórias tais que , e o coeficiente de correlação entre elas é igual a . O coeficiente de correlação entre e é igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

04) Pedro e Paulo decidem se encontrar em um certo local. Se cada um deles chega a esse local independentemente em um instante uniformemente distribuído entre meio-dia e uma hora da tarde, qual a probabilidade de que o primeiro a chegar espere mais do que 20 minutos?

A)

B)

C)

D)

E)

05) Uma fábrica produz parafusos com resistência ao torque , a qual deveria ser no mínimo . Assuma distribuição normal para a resistência. Verificou-se que com a regulagem atual do processo dos parafusos saem com resistência menor que . O engenheiro do processo aumentou a resistência média em para tentar resolver o problema (mantendo a variância). Agora dos parafusos ainda caem abaixo de . De quanto deve ser aumentada novamente a resistência média (mantendo a variância) para que apenas dos parafusos caíam abaixo de ?

A)

B)

C)

D)

E)

06) O tempo de espera em uma pizzaria de São Paulo depois que o pedido é realizado é uma variável aleatória uniformemente distribuída com média min e variância min². A probabilidade de se esperar mais do que min vale:

A)

B)

C)

D)

E)

7) A saída de um canal de comunicação é modelada pela variável aleatória , onde a entrada e o ruído são variáveis aleatórias independentes, com médias iguais a zero e variâncias iguais a e , respectivamente. O coeficiente de correlação entre a saída e a entrada é:

A)

B)

C)

D)

E)

08) Um motor elétrico fabricado por uma empresa apresenta duas falhas por ano em média quando funcionando continuamente. Sabe-se que uma variável aleatória com taxa de falhas constante é bem modelada por uma distribuição exponencial com parâmetro igual à taxa de falhas. A probabilidade do motor falhar durante o primeiro ano de operação e o tempo esperado de funcionamento em anos são, respectivamente:

A)

B)

C) .

D)

E) .

Sejam variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade conjunta dada por

e caso contrário. A probabilidade vale:

02) Dois números, e , são gerados aleatoriamente e uniformemente distribuídos no intervalo . Assuma que são gerados de maneira independente e calcule a probabilidade da equação possuir raízes reais.

a)

b)

c) .

d)

e)