PREC de Probabilidades da USP - 2019

Duas variáveis aleatórias contínuas têm densidade de probabilidade conjunta dada por:

caso contrário.

A densidade condicional de dado , para é?

Uma urna contém bolas brancas e bolas pretas. São retiradas bolas sem reposição. Qual a probabilidade de serem obtidas bolas de cada cor?

A polícia rodoviária inspeciona em média veículos por hora em um ponto da estrada. Historicamente há veículo irregular a cada inspecionados. Na última hora foram encontrados veículos irregulares. Para avaliar se a média mudou para veículos irregulares a cada inspecionados o policial calcula a probabilidade de ser razoável a ocorrência da última hora. O valor encontrado é:

Uma variável aleatória discreta inteira possui distribuição uniforme no conjunto .

Definindo-se a variável aleatória e , os valores de e são, respectivamente:

Uma maratona é uma corrida de . O tempo de prova para maratonistas pode ser modelado, em torno de sua média, como uma distribuição normal, com uma variância de e média de . Em até quanto tempo os mais rápidos terminam a prova?.

Suponha que um indivíduo jogue um jogo de azar em que é possível perder , empatar, ganhar ou ganhar cada vez que ele joga. A distribuição de probabilidade para cada resultado é fornecida pela tabela seguinte.

Sabendo-se que em média o indivíduo ganha por jogo, os valores de são respectivamente:

Um experimento aleatório tem espaço amostral Suponha que, e . O valor de é:

O tempo de vida de um componente elétrico é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre , que corresponde a uma variância de Ao falhar, o componente é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo. Dispõe-se de componentes iguais e independentes. Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operação um componente depois de um total de horas de operação?

A urna contém bolas brancas e azuis, enquanto que a urna contém bolas brancas e bolas vermelhas. Joga-se uma moeda honesta: se der cara, retira-se bola da urna ; caso contrário retira-se bola da urna . Sabendo-se que a cor da bola retirada foi branca, qual a probabilidade da moeda jogada ter resultado “cara”?

Dada a seguinte distribuição de probabilidades, calcular média da variável :

Uma editora verificou que um de seus livros, de páginas, apresentavam erros tipográficos em média. Calcule a probabilidade de um leitor se deparar com mais de erro nas primeiras páginas do livro.

Sejam duas variáveis aleatórias com correlação , e a combinação linear

Sabendo-se que

A variância de é?

O raio de uma esfera é um número aleatório uniformemente distribuído entre. Qual o valor esperado do volume da esfera?

Um estudo de uma escola particular de ensino médio constatou que as pontuações de seus alunos na prova de “Linguagem, códigos e suas tecnologias” do Enem são normalmente distribuídas com uma média de e uma variância de . As pontuações de seus alunos na prova “Matemática e suas tecnologias” são normalmente distribuídas com uma média de e uma variância de . Dois alunos dessa escola foram selecionados aleatoriamente. Considere que é uma variável aleatória que indica a pontuação na prova de Linguagem do primeiro aluno e a pontuação da prova de Matemática do segundo aluno. Suponha que são independentes. A probabilidade vale:

A experiência indica que a vida remanescente de um dispositivo não é afetada pelo tempo de vida anterior e segue uma distribuição exponencial. De um lote de dispositivos idênticos, observa-se que destes falham antes de . Selecionam-se aleatoriamente dispositivos de um outro lote de dispositivos idênticos. Qual a probabilidade dos dispositivos durarem mais de ?

Uma máquina (A) produz de balas por dia, sendo que das balas produzidas não atingem a especificação exigida por um supermercado. Uma nova máquina (B) foi adquirida e produz de balas por dia, sendo que delas não atingem a especificação do supermercado. Sabe-se que a produção das duas máquinas é misturada. Coletada uma amostra aleatória de balas da produção, a probabilidade de que esta amostra contenha exatamente duas balas fora da especificação é: