USP, Probabilidade, P3-2019.2, Teste 6
06) O tempo de espera em uma pizzaria de São Paulo depois que o pedido é realizado é uma variável aleatória uniformemente distribuída com média min e variância min². A probabilidade de se esperar mais do que min vale:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Eaí gente bonita, tudo bom com vocês?
Temos aqui uma questão de probabilidade bem interessante, que já no início nos diz que o tempo de espera em uma pizzaria segue uma distribuição uniforme. Vocês lembram dela?
Basicamente, é uma distribuição de probabilidade para V.A contínua, em que a função de densidade acumulada, , em um intervalo obedece a:
Além disso, a sua média e variância valem:
Beleza, agora que já demos uma revisada rápida na distribuição uniforme, a questão quer que a gente calcule a probabilidade do tempo de espera ser maior do que min.
Passo 2
Massa! Mas e como é que podemos calcular essa probabilidade?
O segredo está exatamente na função de distribuição acumulada, FDA. Pois em distribuições de probabilidade, a FDA, representa exatamente a probabilidade de termos , ou seja:
Mas, nessa questão estamos querendo calcular . Daí é só usarmos a complementaridade da probabilidade, pois:
Logo:
Top! Agora é só substituirmos na nossa fun...
OPA! Não sabemos quem é e . Antes precisamos determiná-los. É por isso que no enunciado tem umas informações extras sobre a média e a variância. Vamos usá-las então:
Daí, podemos montar duas equações:
Logo:
Somando , vem que:
Prontinho!
Passo 3
Beleza! Agora sim, como já determinamos e , e sabendo também que:
Podemos substituir os dados na função . Daí:
Logo, finalmente chegamos que:
Isso aí galera! Questão bem legal, espero que todos tenham entendido bem! Já vamos aproveitar o embalo para ir matar a próxima questão também, espero vocês lá!
Resposta
Letra D: