Responde Aí
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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

USP, Probabilidade, P3-2019.2, Teste 3

03) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que E X = E Y =   0 , σ X 2 = σ Y 2 = 1 e o coeficiente de correlação entre elas é igual a ρ . O coeficiente de correlação entre ( X - ρ Y ) e Y é igual a:

A) 0

B) ρ

C) 1

D) σ Y

E) σ X

Passo 1

Faaaala galerinha do Responde Aí, tudo bom com vocês?

Essa é uma questão bem teórica. Basicamente, temos inicialmente duas variáveis, X e Y , e conhecemos tudo sobre elas. Mas aí, o querido professor, pra complicar, resolve criar uma nova variável, Z , onde Z = X - ρ Y e ρ = c o r r ( X , Y ) . O objetivo é determinar c o r r ( Z , Y ) , sacaram?

Beleza, tudo certo até agora. Porém, como que podemos resolver a questão?

Então, a ideia é usar algumas propriedades da esperança e variância para conseguir calcular a nova correlação. Bora dar uma revisada nelas?!

1) E a X ± b Y = a E X ± b E ( Y )

2) V a X ± b Y = a 2 V X ± b 2 V Y

Show!

Passo 2

Como já revisamos um pouquinho da teoria, é hora de voltar pra nossa questão!

Sabemos que:

C o r r Z , Y = C o v Z , Y σ Z ⋅ σ Y

Mas dessas grandezas, apenas sabemos que σ Y = 1 . Bora tentar calcular as outras então, começando por σ Z .

Sabemos que:

V a r Z =   σ Z 2

Mas, pelas propriedades da variância, e sendo Z = X - ρ Y , vem:

V X - ρ Y = V X + ρ 2 V ( Y )

Logo, usando que V X =   σ X 2 = V Y =   σ Y 2 = 1 , temos:

V X - ρ Y = 1 + ρ 2

Assim:

σ Z = 1 + ρ 2

Passo 3

Beleza, o que está faltando agora é calcular c o v ( Z , Y ) . Então vamo simbora!

Pela definição, podemos escrever que:

c o v Z , Y = E Z Y - E Z ⋅ E ( Y )

Substituindo Z = X - ρ Y , vem que:

c o v Z , Y = E X Y - ρ Y 2 - E X - ρ Y ⋅ E Y

Como E Y = 0 , podemos reescrever que:

c o v Z , Y = E ( X Y - ρ Y 2 )

Top! Bora usar agora as propriedades da esperança que revisamos lá no início:

E X Y - ρ Y 2 = E X Y - ρ E ( Y 2 )

Ok! Novamente, vamos pensar em como calcular cada um desses termos separadamente. Começando por E ( X Y ) . Sabemos que c o r r X , Y = ρ , vale:

c o r r X , Y = c o v X , Y σ X 2 ⋅ σ Y 2 = E X Y - E X ⋅ E Y σ X 2 ⋅ σ Y 2

Daí:

ρ = E X Y - 0 1

Logo:

E X Y = ρ

Passo 4

Agora precisamos calcular o outro termo, ρ E ( Y ⋅ Y ) . Podemos novamente usar a correlação, então:

c o r r Y , Y = c o v Y , Y σ Y 2 = E Y 2 - E Y ⋅ E Y σ Y 2

Como E Y = 0 e σ Y = 1 , vem:

c o r r Y , Y = E Y 2

Mas, quem é a c o r r ( Y , Y ) ?

Então, lembra que a correlação é uma medida da dependência entre duas variáveis e varia entre - 1 e 1 . Se as variáveis são independentes, então a correlação é nula. Só que Y é totalmente dependente a ela mesma né? Então, a sua correlação precisa valer 1 !

Logo:

C o r r Y , Y = E Y 2 = 1

Pronto! Voltando pra C o v ( Z , Y ) temos:

c o v Z , Y = E X Y - ρ E ( Y 2 )

Substituindo que E X Y = ρ e E Y 2 = 1 , vem que:

c o v Z , Y = ρ - ρ ⋅ 1 = 0

Por fim, voltando na expressão para c o r r ( Z , Y ) , vem que:

c o r r Z , Y =   C o v Z , Y σ Z ⋅ σ Y

Finalmente:

c o r r Z , Y = 0 1 + ρ 2 ⋅ 1 = 0

Aeee, conseguimos! Bem legalzinha essa questão né? Deu pra trabalhar bem as propriedades.

Até a próxima, pessoal! 😉

Resposta

Letra A: 0

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