P1 de Probabilidades da USP - 2017

Em um dado dodecaédrico, com os lados numerados de 1 a 12, cada face par tem probabilidade a igual ao dobro da probabilidade de cada face ímpar b. Em dois lançamentos (independentes), qual é a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 5?

Em uma caixa fechada em que estão dois gatos, há também um dispositivo que pode matar gatos. As mortes dos gatos individualmente são eventos independentes. Cada gato morre com probabilidade 0.5. A caixa permanece sempre fechada. Sabendo que pelo menos um dos gatos morreu no experimento, qual é a probabilidade p que ambos estejam mortos?

Um aluno faz a P1 de Probabilidade que é composta de testes múltipla escolha. Suponha que para cada teste ele sabe a resposta ou “chuta” e escolhe uma opção aleatoriamente. Suponha ainda que se ele sabe a resposta, a probabilidade da resposta estar correta é 1, e se ele “chuta”, essa probabilidade é 1/5. Para tirar 5,0 ,os alunos precisam responder pelo menos 50% das perguntas corretamente. O aluno "estudou para tirar 5,0", ou seja, ele sabe a resposta de um teste com probabilidade 0,5. Dado que ele responde corretamente um teste, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta?

Suponha que um posto de combustível recebe 20% de sua gasolina do distribuidor D1, 30% do distribuidor D2 e 50% do distribuidor D3. Sabe-se que: dado que a gasolina vem de D1, 20% do seu conteúdo é adulterado; dado que a gasolina vem de D3, 2% do seu conteúdo é adulterado. Sabe-se também que a probabilidade de uma amostra aleatória de gasolina do posto estar adulterada é de 6,5%. A probabilidade de uma amostra aleatória de gasolina do posto ser adulterada dado que é de D2 é:

Um processo de fabricação de um produto pode ser subdividido em três etapas. Quando não ocorrem problemas em nenhuma das etapas o custo do produto é 6 reais. No caso de problemas na primeira etapa considera-se um custo adicional de 1 real. No caso de problemas na segunda etapa considera-se um custo adicional de 2 reais, e no caso de problemas na terceira etapa considera-se um custo adicional de 3 reais. Podem ocorrer problemas em mais de uma etapa e estes são eventos independentes. Sabe-se que as probabilidades de ocorrerem problemas nas etapas são: 10% na primeira, 20% na segunda e 30% na terceira. Qual a probabilidade de o custo final de um produto selecionado aleatoriamente ser estritamente superior a 6 reais e estritamente inferior a 10 reais?

Uma urna contém todos os possíveis bilhetes de dígitos, numerados apenas empregando os dígitos . Qual é a probabilidade de se retirar um bilhete que contenha cada um dos dígitos , pelo menos uma vez?

Considere quatro caixas, cada uma contendo duas moedas. A primeira caixa contém duas moedas de ouro, assim como a segunda; a terceira caixa contém uma moeda de ouro e uma de prata; e a quarta caixa contém duas moedas de prata. Escolho aleatoriamente uma das quatro caixas, e retiro dela uma moeda, também aleatoriamente. Se a moeda que retirei da caixa é de ouro, a probabilidade de que a moeda dentro da caixa também seja de ouro é:

Verificou-se que, numa determinada população, de cada pessoas sofre da doença , e de cada pessoas sofre da doença . Também foi observado que, de cada pessoas que sofrem de uma ou duas doenças, uma pessoa sofre de ambas as doenças. Se é a probabilidade de uma pessoa dessa população sofrer das duas doenças, e é a probabilidade de ela sofrer da doença dado que ela sofre da doença , calcule e

Uma operadora de telefonia celular oferece a seus clientes um número de telefone ao qual eles podem ligar para fazer reclamações. Denote por p a probabilidade de uma ligação a esse número ser bem sucedida. A operadora sabe que todos os seus clientes realizam até quatro tentativas para falar com o serviço de reclamações, antes de recorrer a outras soluções (Procon, Reclame Aqui etc.). Sabe-se que as tentativas de contato com o serviço são independentes entre si. Deseja-se uma probabilidade de no máximo 1% dos clientes não conseguirem reclamar em quatro tentativas. Qual deve ser o valor mínimo de p?

Uma usina hidrelétrica possui 2 geradores, e a probabilidade de cada uma delas parar de funcionar é P(F1) = 1/10 e P(F2) = 1/5, respectivamente. A usina fornece energia a uma cidade onde a probabilidade de que a temperatura medida num momento qualquer seja acima de 30◦C é P(Q) = 1/5 (nesses dias, espera-se uma demanda consideravelmente elevada de energia). A administração da usina considera três situações distintas em que esta opera: Satisfatória (S): os dois geradores estão funcionando, e a temperatura está abaixo de 30◦C; Crítica (C): pelo menos um dos dois geradores não está funcionando, e a temperatura está acima de 30◦C; Marginal (M): todos os outros casos. De acordo com as informações acima, e considerando que os eventos F1, F2 e Q são independentes, assinale a alternativa incorreta:

a) d) =

b) d)

c)

Considere dois lançamentos de um dado honesto. é o número de pontos obtidos no primeiro lançamento e o número de pontos obtidos no segundo lançamento. Considere agora a variável aleatória . A expressão para é:

Seja um experimento em que consiste em se sortear uma vez um número real do conjunto .

A distribuição de probabilidade para a variável aleatória que corresponde ao experimento é uniforme (tem valor constante). Sejam também os eventos

Considere as seguintes afirmações abaixo.

a) Os eventos e são mutuamente excludentes.

b) Os eventos e são independentes.

c) Como , o evento é impossível.

Quais/qual afirmações são verdadeiras?

Seja uma variável aleatória que toma valores no conjunto é a sua função de distribuição (acumulada). Considere as afirmações abaixo.

a) é uma variável aleatória contínua.

b) é uma função estritamente crescente.

c) Para todo ∈ R, existe o limite e vale .

As afirmações verdadeiras são: