USP probabilidade e estatística probabilidades P3 2019
Sejam variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade conjunta dada por
e caso contrário. A probabilidade vale:
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade!!!
Como de costume vamos anotar as informações do enunciado.
Sabemos que a distribuição conjunta de é:
E queremos calcular
Passo 2
Para podemos calcular essa probabilidade, precisamos da função de densidade condicional de
Vocês lembram como calcula essa densidade? Vamos relembrar!!
Ou seja, calculamos a razão entre a conjunta e a marginal de para
Vamos começar calculando a marginal de Ela é definida como:
(substituindo a nossa densidade)
(resolvendo a integral)
(juntando os termos )
Então
Isto é, integramos a distribuição conjunta em todos os valores de
(no caso discreto ao invés da integral usaríamos o somatório)
Passo 3
Agora precisamos calcular . Substituindo na expressão da densidade conjunta
Então a função de densidade de é:
Agora estamos na reta final!!
Passo 4
Passo 5
Finalmente podemos calcular a probabilidade de interesse.
Por definição:
(resolvendo a integral)
(simplificando)
Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!