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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

USP, Probabilidade, P3-2019.2, Teste 7

7) A saída de um canal de comunicação é modelada pela variável aleatória Y = X + N , onde a entrada X e o ruído N são variáveis aleatórias independentes, com médias iguais a zero e variâncias iguais a σ X 2 e σ N 2 , respectivamente. O coeficiente de correlação entre a saída Y e a entrada X é:

A) σ N 2 / ( σ X 2 + σ N 2 )

B) σ X / σ X 2 + σ N 2  

C) 1

D) σ N / σ X 2 + σ N 2  

E) σ X 2 / ( σ N σ X 2 + σ N 2 )  

Passo 1

Faaala galera, tudo certo com vocês?

Nessa questão é pedido o coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias X e Y , as quais são relacionadas por:

Y = X + N

∴ N = X - Y

Mas, vocês lembram do que se trata esse coeficiente de correlação?

Então, matematicamente podemos defini-lo por:

ρ X , Y = C o v X , Y σ X ⋅ σ Y

Daí encontramos dois problemas: não conhecemos nem a covariância de X e Y , nem o desvio padrão de Y . Vocês lembram como podemos calcular esses caras?

Bom, para a C o v ( X , Y ) temos:

C o v X , Y = E X Y - E X ⋅ E ( Y )

Já para o desvio padrão de Y temos:

σ Y =   V a r Y  

Passo 2

Bom, agora que já vimos o que é esse tal coeficiente de correlação, vamos para as contas.

Começando pela covariância, temos que:

C o v X , Y = E X Y - E X ⋅ E ( Y )

Mas, como Y = X + N , vem que:

E X Y =   E ( X 2 + X N )

Só que pela propriedade da esperança matemática, temos:

E X 2 + X N = E X 2 + E X N

Como X e N são independentes, ficamos com:

E X 2 + E X N = E X 2 + E ( X ) E ( N )

Já o E ( X 2 ) pode ser calculado usando a variância, pois sabemos que:

V a r X = E X 2 - E X 2

Logo, E X 2 =   σ X 2 + 0 = σ X 2 .

Daí, pra matar de vez essa primeira parte, temos que:

C o v X , Y = E X Y - E X ⋅ E ( Y )

Logo:

C o v X , Y =   σ X 2

Excelente pessoal!

Passo 3

Já para calcular o desvio-padrão σ Y vamos ter um pouquinho mais de trabalho.

Sabemos que:

σ Y 2 = V a r Y

⇒   σ Y 2 = V a r ( X + N )

Como X e N   são independentes, vale:

V a r X + N = V a r X + V a r ( N )

V a r X + V a r N =   σ X 2 + σ N 2

Daí:

σ Y =   V a r Y = σ X 2 + σ N 2

Opa, agora que descobrimos tudo que era necessário, é só correr pro abraço:

ρ X , Y =   C o v X , Y σ X ⋅ σ Y

ρ X , Y = σ X 2 σ X ⋅ σ X 2 + σ N 2

Logo, pra terminaaar:

ρ X , Y = σ X σ X 2 + σ N 2

Prontinho 😉

Espero que vocês tenham gostado, até a próxima!

Resposta

Letra B: σ X σ X 2 + σ N 2

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