Séries de Fourier, Funções pares e ímpares e desigualdade de bessel e identidade de Parseval
a)Calcule a série de Fourier da Função
b)Sabendo que e usando o item anterior, calcule
Passo 1
a)Show, já temos a função definida de , se você olha pra cara dela, já da pra ver que não é par nem ímpar, então vamos ter que ter que determinar todas as constantes, ok?!
Partiu:
Próximo coeficiente:
Essa integral você resolve com integração por partes:
Mas
E por último:
Assim como a outra, vamos fazer uma integração por partes, é o mesmo raciocínio:
Então fica:
Passo 2
b)Vamos usar a identidade de Parseval para resolver esse paranauê
Ele falou pra usar o item anterio, então né, vamos usar o que achamos na letra a)
Mas antes vamos analisar um cara:
Ok, vamos pensar diferente, beleza? Se , então esse cara da , se ele for ímpar, então vai dar , mas isso é só pra ímpar, uma forma de expressar isso é:
Agora pode ter qualquer valor, o resultado dentro do parênteses representa esse novo e sempre dará ímpar para todo , sacou? Agora podemos usar o somatório normal.
Bem, era mais isso, vamos voltar pra identidade de Parseval e substituir os valores:
Mas opa, já sabemos que , então:
Colocando o somatório em evidência