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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Exercício 10123456789111213141516171819

Enunciado

Teste 5: Sabe-se que

x 2 = π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x ,   0 < x < π

O valor de ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 é:

  1. π 3 - π 72
  2. π 4 90
  3. π 2 24
  4. π 2 6 - 2 π 2 9

Passo 1

Bem, eu não sei você, mas estou sentindo cheiro de identidade de Parseval. Por quê? Ora, pois queremos o quadrado do termo que temos na série!

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Sow, mas para aplicarmos Parseval, temos que identificar os termos da série de Fourier:

x 2 = π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x →

Comparando com a série...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π L x + b n s in ⁡ n π L x

No caso...

f x = x 2

a 0 2 = π 2 3   →       a 0 = 2 3 π 2

a n = - 1 n 4 n 2

b n = 0

e

L = π

Pela identidade de Parceval...

1 L ∫ - L L f x 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 0 ∞ a n 2 + b n 2

1 π ∫ - π π x 2 2 = 2 3 2 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n 2 2 + 0 2 →

1 π ∫ - π π x 2 2 = 2 π 2 3 2 2 + ∑ n = 0 ∞ 16 n 4

AHA! Veja a série que queremos encontrar o valor ali! Então bora simplificar isso !

Passo 2

Lembrando que x 2 = x 2 ...

1 π ∫ - π π x 4 d x = 4 π 4 / 9 2 + 16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 →

1 π x 5 5 - π π = 2 π 4 9 + 16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 →

Substituindo os limites de integração...

1 π π 5 5 - - π 5 5 = 2 π 4 9 + 16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 →

1 π π 5 5 + π 5 5 = 2 π 4 9 + 16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 →

1 π 2 π 5 5 = 2 π 4 9 + 16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 →

2 π 4 5 - 2 π 4 9 = + 16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 →

Então...

16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 = 18 π 4 - 10 π 4   45

16 ∑ n = 0 ∞ 1 n 4 = 8 π 4   45

∑ n = 0 ∞ 1 n 4 = π 4   90

Resposta

b )   π 4   90