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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Exercício 12123456789101113141516171819

Enunciado

Questão 1: Sejam f x = x 5 , - 1 ≤ x ≤ 1 , uma função periódica de período 2 e

S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n sin ⁡ n π x

x ∈ R a sua série de Fourier.

a) Calcule a n , n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

b) Calcule S 2 / 3 e S 1 .

c) Calcule

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1   b 2 k - 1

d) Calcule

∑ k = 1 ∞ b n 2

Passo 1

a)

Pow, a gente até podia calcular aquela integral da definição para determinar a n , mas acredito mais fácil a gente inspecionar um pouco a função:

f x = x 5 ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Essa função é ímpar! Então meio que é impossível representa-la em função par. E quem mais é par? O cosseno:

a n cos ⁡ n π x

Como a n multiplica o c o s s e n o (par):

a n = 0

Passo 2

b)

Bem, pela convergência de Fourier, sabemos que

S x = f x

Mas isso, apenas para x no intervalo onde a função é contínua! Como a nossa função está definida de - 1 a 1 ...

f x = x 5 ,   - 1 ≤ x ≤ 1

E

- 1 ≤ 2 3 ≤ 1  

Então...

S 2 3 = f 2 3 =

2 3 5 = 32 243

Passo 3

Agora, para encontrar o S 1 , temos que tomar cuidado! Por quê? Pois 1 está no limite de definição da função...

  f x = x 5 ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Então pelo teorema da convergência...

S 1 = f 1 + f - 1 2 =

1 5 + - 1 5 2 = 1 - 1 2 =

0

Passo 4

c)

Pois bem, sabemos também de Fourier que S x é definida por...

S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n sin ⁡ n π x   →

Como a n = 0 ...

S x = ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π x

Se trabalharmos com x = 1 / 2 ...

S 1 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π 2

Quem será...

sin ⁡ n π 2 = ?

Pois bem, sabemos que trabalhar com o x = 1 / 2 nesse caso é interessante, pois o seno fica variando entre - 1 , 0 e 1 :

sin ⁡ n π 2 = 1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 …         p a r a       n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 , … ,   n = k

Retirando esses zeros pegando só os n ímpares...

sin ⁡ n π 2 = 1 ,   - 1 ,   1 …         p a r a       n = 1 ,   3 ,   5 , … ,   n = 2 k - 1

k = 1 ,   2 ,   3 …

Então...

sin ⁡ 2 k - 1 π 2 = 1 ,   - 1 ,   1 …         p a r a     k = 1 ,   2 ,   3 …

E como...

- 1 k + 1 = 1 ,   - 1 ,   1 ,             p a r a     k = 1 ,   2 ,   3 …

Então...

sin ⁡ 2 k - 1 π 2 = - 1 k + 1   →

Ou seja...

sin ⁡ n π 2 = 0 ,               n = 2 k                                         - 1 k + 1 ,         n = 2 k - 1

S 1 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π 2 =

∑ m = 1 ∞ b 2 k - 1 - 1 k + 1

Passo 5

Ok, e quem é o S de ½ ? Como 1 / 2 está entre - 1 e 1 ...

- 1 ≤ 1 2 ≤ 1  

Então...

S x = f x

S 1 2 = f 1 2 =

1 2 5 = 1 32

Logo

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 b 2 k - 1 = 1 32

Passo 6

d)

Pelo nosso amigo Parseval...

∑ k = 1 ∞ b n 2 + a n 2 = ∫ - L L f x 2 d x   →

Então é só substituir mesmo e como a n = 0 ...

∑ k = 1 ∞ b n 2 = ∫ - 1 1 x 5 2 d x =

∫ - 1 1 x 10 d x

∑ k = 1 ∞ b n 2 = x 11 11 - 1 1 =

1 11 11 - - 1 11 11 =

1 11 - - 1 11 =

2 1 11 = 2 11

Resposta

a) a n = 0

b)

S 2 3 = 32 243             e             S 0 = 0

c)

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 b 2 k - 1 = 1 32

d)

∑ k = 1 ∞ b n 2 = 2 11