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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Exercício 81234567910111213141516171819

Enunciado

Sabendo que a série de Fourier de f x = x 3 - π 2 x 2 ,   x ∈ ( - π , π ) , é dada por:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 3 sen ⁡ n x

Determine

∑ n = 1 ∞ 1 n 6

Passo 1

Cara, dá uma olhada nessa função aí! Perceba que ela é ímpar, então a extensão dela em série de Fourier é dada apenas por uma série de senos!

a 0 = a n = 0

b n = - 1 n 4 n 3

Usando a identidade de Parseval:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2 = 1 π ∫ - π π f 2 x d x

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 3 2 = 1 π ∫ - π π f 2 x d x

∑ n = 1 ∞ 16 n 6 = 1 π ∫ - π π f 2 x d x

∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = 1 16 π ∫ - π π f 2 x d x

Agora vamos resolver essa integral para chegarmos onde qureremos!

∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = 1 8 π ∫ 0 π f 2 x d x

f x = x 3 - π 2 x 2 → f 2 x = x 6 - 2 π 2 x 4 + π 4 x 2 4

1 8 π ∫ 0 π f 2 x d x = 1 8 π ∫ 0 π x 6 - 2 π 2 x 4 + π 4 x 2 4 d x = 1 32 π x 7 7 - 2 π 2 x 5 5 + π 4 x 3 3 0 π

1 32 π x 7 7 - 2 π 2 x 5 5 + π 4 x 3 3 0 π = 1 32 π π 7 7 - 2 π 7 5 + π 7 3 = π 6 84 0

Portanto:

∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = π 6 84 0

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = π 6 84 0