Teste 7: A integral
Assume seu menor valor para e , respectivamente iguais a:
Passo 1
Pow, eu não sei você, mas para resolver esse problema tive um pressentimento fortíssimo e babadeiro de que teremos que trabalhar com a identidade de Parceval. Olha a identidade aqui e me fala se não está parecido:
Onde , são os coeficientes da série de Fourier da função . Basta a gente descobrir quem são cada um desses termos aí então e resolver por essa igualdade, não concorda?
Passo 2
Ora, como estamos trabalhando com essa integral:
Podemos chegar nessa mesma integral pela identidade de Parceval se fizermos:
Definida no intervalo de a . Ora, sabemos que para encontrarmos os coeficientes da série de Fourier dessa função, temos que definir se queremos trabalhar com a extensão par ou extensão ímpar. Como queremos a integral de a , é interessante pensarmos na extensão par, pois assim a Identidade de Parceval se redefine como:
Bem mais interessante para o que queremos, não concorda? Fazendo , então:
Ok! Agora falta descobrir quem são esses coeficientes e ! Venha comigo
Passo 3
Sabemos que e são os coeficientes da série de Fourier:
Só que como estamos trabalhando com a extensão par, e os s se redefine para:
Como ...
SHOW! Então agora é só substituir a função que a gente está trabalhando:
E fazer as continhas, certo? Certo, mas tem um porém . As contas nesse caso não são nada fáceis, e provavelmente você não terá um tempo legal na sua prova, neh? Mas tem agumas sacadas aqui que dá para resolver essas continhas de forma bemmm mais rápido. Venha comigo então!
Passo 4
Pow, vamos separar essa função em outras duas de forma que:
Onde:
E
Agora, a sacada é o seguinte: verificar que a função já está escrita em forma de Fourier em cossenos (par)! Por que qual é a formulação de Fourier para uma função par?
Certo? Só que , então:
Perceba que se substituirmos o nesse somatório aí, vamos ganhar:
Só que como a nossa , todos esses aí zera de modo que os únicos que não são são os dois primeiros, ou seja:
E comparando com a nossa ainda, ganhamos:
Então:
Certo? Descobrimos isso sem precisar fazer aquela contaiada de integral toda, viu só? Agora, e para a função ? Bem aqui infelizmente não tem outra saída! Vamos ter que calcular!
Passo 5
Para temos pelos coeficientes da série de Fourier em cossenos que:
Então:
Já o :
Como a integral indefinida de:
Se resolve por integração por partes, ou seja:
Então:
Como o cosseno de é a mesma coisa que :
Então, pra todo , o pra essa função vale esse termo de cima, em particular o
Um resumo do que encontramos aqui é:
Passo 6
Com isso calculado, podemos finalmente chegar aos termos de da função , sabendo que , então (Mas antes, um resumo do que encontramos na e na ):
O para a função :
- O da será a soma dos dois anteriores (da e da ):
- O também é a soma:
- Já os , como o , possui com , teremos apenas a contribuição do :
Então, voltando a equação lá do passo que ganhamos através da Parceval:
Lembre-se que todos os são , afinal estamos trabalhando com extensão par:
Tirando o termo desse somatório:
Substituindo agora:
Beleza, agora vamos filosofar em cima desse resultado para retirar os valores de e pedidos no problema !
Passo 7
Bem, queremos encontrar os valores desses amiguinhos que tornam o valor da integral o menor possível. Quando isso acontece? Isso acontece quando os dois primeiros termos da soma forem , não concorda? Então:
O que esse cara de cima é:
E o que o de baixo é: