Questão 1: Considere a função periódica de período , que no intervalo é definida por
- Escreva a série de Fourier de , e indique apenas como calcular os seus coeficientes. Calcular o coeficiente .
- Calcule
- Calcule .
- Calcule
Passo 1
Item A)
Pow, a função tem período , então nada mais justo do que falar que ! Assim, pela teoria, temos a definição da série de Fourier:
Os coeficientes dessa série são dados por:
Ou seja, no nosso caso...
Passo 2
Bem, agora podemos calcular o termo ...
No caso, a função é definida por partes nesse intervalo de integração:
Então teremos que separar essa integral em duas, basicamente:
Substituindo os limites corretamente...
Passo 3
Letra B)
Veja que podemos encontrar o valor dessa série aqui:
Se fizermos o na série de Fourier:
Pois o seno de é , enquanto o cosseno é !
Agora, como a função é contínua...
Podemos falar que a série representa a função nesse intervalo contínuo, em outras palavras:
Logo...
Passo 4
Letra C)
Aqui, no entanto, para calcular essa série...
Seria interessante se estivéssemos no ponto ...
Como seno de múltiplos de é e o cosseno é ora e ora ()...
Viu só? Multiplicando por agora...
Agora a grande questão é: quem é ?
Passo 5
Pois bem, para responder essa pergunta, perceba que é o último ponto da função, e ainda a função não está definida nele:
Mas como a função é periódica:
A série de Fourier nesse ponto problemático é a média dos limites laterais da função:
Como é o limite pela direita, a função tende a , enquanto que é o limite pela esquerda e portanto tende a ...
Portanto, voltando para a série...
Passo 6
Letra D)
Por último, podemos calcular a série:
Pela famosa identidade de Parseval, que nos fala o seguinte:
Então, no nosso caso...
Calculando a integral de forma semelhante ao item ...
Então...
Resposta
Item A)
Item B)
Item C)
Item D)