Séries de Fourier, Funções pares e ímpares e desigualdade de bessel e identidade de Parseval
a)Sabendo que a série de Fourier de
Determine
Passo 1
a)
Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele deu a série de Fourier de , e além disso olhando para essa série de Fourier dele podemos perceber que
Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de , esse te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.
Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?
como vai sobrar só o como queríamos.
Passo 2
Vamos agora dar uma trabalhada a identidade de Parseval.
Ae vendo a cara da série que ele nos deu:
Pronto, agora é só substituir na igualdade
Passo 3
Vamos resolver aquela integral do lado direito
Lembrando que
Então
Resolvendo essa integral
Passo 4
Voltando para a identidade de Parseval, temos
Logo:
Então ficou:
Colocando o somatório em evidência: