Funções pares e ímpares e desigualdade de bessel e identidade de Parseval
Sabendo que a série de Fourier de senos de , em é
Calcule
Passo 1
Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele deu a série de Fourier de senos de , vamos escrever essa soma em forma de somatório
Essa na verdade é a série da extensão ímpar de , vamos chamar essa extensão de , como ele não está pedindo a série não vamos nos preocupar em desenha o gráfico dessa parada.
Olhando para essa série de Fourier dele podemos perceber que
Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de , esse te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.
Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?
como e vai sobrar só o como queríamos.
Passo 2
Vamos agora dar uma trabalhada a identidade de Parseval.
Ae vendo a cara da série que ele nos deu:
Pronto, agora é só substituir na igualdade
Como é ímpar, vamos ter sendo par, assim essa integral vai ficar
Isso porque é a parte de no intervalo da integral.
Substituindo o valor de
Passo 3
Vamos resolver aquela integral do lado direito
Passo 4
Voltando para a identidade de Parseval, temos
Logo:
Então ficou: