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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Exercício 15123456789101112131416171819

Enunciado

Considere a função f : R → R , periódica de período 2, que no intervalo [ - 1,1 ) é definida por f x = 6 x 5 , e, seja:

S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n sen ⁡ n π x

A série de Fourier desta função.

  1. Calcule a n
  2. Determine os valores de   x   para os quais f x = S ( x )
  3. Calcule ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 b 2 n - 1
  4. Use a igualdade de Parseval para calcular ∑ n = 1 ∞ b 2 n - 1 2

Passo 1

  1. É fácil ver que a função é ímpar, logo podemos concluir que a n = 0 ,   n = 0 , 1,2 , …

    2. Passo 2

  2. Agora temos que usar o conceito de convergência de Fourier. Como a função é um polinômio então ela é contínua no intervalo, com exceção dos pontos … , - 3 , - 1,1 ,   3 ,   5 , … Assim, temos que S x = f ( x ) em todos os pontos, com exceção nos inteiros ímpares.

    3. Passo 3

  3. Vamos lá galera. Essa questão tem uma sacada muito boa!

    4. Primeiro, veja que o índice de b é 2 k - 1 . Agora perceba que esse - 1 n + 1 tem que aparecer do seno, certo? Assim, vamos forçar para que apareçam somente os índices impares da soma.

    S x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x   ⟹ S 1 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π 2 ⟹ S 1 2 = ∑ n = 1 ∞ b 2 n - 1 - 1 n + 1

    Logo basta calcularmos S 1 2 . Então:

    S 1 2 = f 1 2 = 6 1 32 = 3 16

    Passo 4

  4. Utilizando a identidade de Parseval, temos:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Assim, substituindo o que já temos:

∑ n = 1 ∞ b n 2 = ∫ - 1 1 6 x 5 2 d x = 36 ∫ - 1 1 x 10 d x = 36 11 2 = 72 11

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)