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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Exercício 71234568910111213141516171819

Enunciado

Seja f : R → R a função que é periódica de período 2 π , que no intervalo [ - π , π ) é dada por:

f x = 1 ,       s e   x ∈ ( 0 , π ] 0 ,       x = 0 - 1 ,       s e   x ∈ [ - π , 0 )

E seja S ( x ) a série de Fourier de f ( x ) .

  1. Calcule a expansão em série de Fourier de f x .
  2. Em que pontos x ,   f x ≠ S x ? Justifique.
  3. Use o teorema de Fourier para demonstrar que ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4
  4. Use a igualdade de Parseval para mostrar que ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π 2 8

Passo 1

  1. Primeiro vemos que a função é impar, logo:

    2. a n = 0 ,     n = 0,1 , 2 , …  

    Assim, temos que:

    S x = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

    Vamos agora calcular b n :

    b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

    Como L = π :

    b n = 2 π ∫ 0 π sen ⁡ n x d x = 2 π - cos ⁡ n x n 0 π = - 2 ( - 1 n - 1 ) n π

    Agora veja que quando n é par, temos que b n = 0 e quando n é ímpar, temos que:

    b 2 n - 1 = 4 ( 2 n - 1 ) π

    Assim, chegamos a conclusão que a série de Fourier é:

    S x = ∑ n = 1 ∞ 4 ( 2 n - 1 ) π s e n ( 2 n - 1 ) x

    Passo 2

  2. Veja a função é descontinua nos pontos em que x = k π logo a série não converge nesses pontos.

    3. Passo 3

  3. Vamos lá galera. Para aparecer essa parte no seno, temos que substituir por um valor interessante para nós. Veja que:

    4. sen ⁡ ( 2 n - 1 ) π 2 = - 1 n + 1

    Como os termos que aparecem já são impares, temos o que nós queríamos!

    Assim:

    f π 2 = S π 2 ⟹ 1 = ∑ n = 1 ∞ 4 2 n - 1 π s e n 2 n - 1 π 2 = ∑ n = 1 ∞ 4 2 n - 1 π - 1 n + 1

    Assim, passando o que é constante para o outro lado:

    π 4 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1

    Logo chegamos ao pedido.

    Passo 4

  4. Utilizando a identidade de Parseval, temos:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Assim, substituindo o que já temos:

∑ n = 1 ∞ b n 2 = 1 π ∫ - π π f ( x ) 2 d x = 1 π ∫ - π 0 1 d x + ∫ 0 π 1 d x = 2

Então:

∑ n = 1 ∞ 16 2 n - 1 2 π 2 = 2 ⟹ π 2 8 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)