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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Enunciado

Questão 3: Sejam c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível

∫ - π π x - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x 2 d x

Então c 2 é igual a...

  1. 2
  2. 2 π
  3. 1 2 π
  4. - 1
  5. 1 π .

Passo 1

Pow, eu não sei você, mas para resolver esse problema tive um pressentimento fortíssimo e babadeiro de que teremos que trabalhar com a identidade de Parceval. Olha a identidade aqui e me fala se não está parecido:

1 L ∫ - L L f x 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Onde a n , b n são os coeficientes da série de Fourier da função f x . Basta a gente descobrir quem são cada um desses termos aí então e resolver por essa igualdade, não concorda?

Passo 2

Ora, como estamos trabalhando com essa integral:

∫ - π π x - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x 2 d x

Podemos chegar nessa mesma integral pela identidade de Parceval se fizermos:

f x = x - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x

Definida no intervalo de - π a π . Bem mais interessante para o que queremos, não concorda? Fazendo L = π , então:

1 L ∫ - L L f x 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

1 π ∫ - π π f x 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Ok! Agora falta descobrir quem são esses coeficientes a n e b n ! Venha comigo

Passo 3

Sabemos que a n e b n são os coeficientes da série de Fourier:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sin ⁡ n π x L d x

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

a n = 1 π ∫ π π f x cos ⁡ n x d x

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x

SHOW! Então agora é só substituir a função que a gente está trabalhando:

f x = x - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x

E fazer as continhas, certo? Certo, mas tem um porém . As contas nesse caso não são nada fáceis, e provavelmente você não terá um tempo legal na sua prova, neh? Mas tem agumas sacadas aqui que dá para resolver essas continhas de forma bemmm mais rápido. Venha comigo então!

Passo 4

Pow, vamos separar essa função f x em outras duas de forma que:

f x = g x + h x

Onde:

g x = - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x

E

h x = x

Agora, a sacada é o seguinte: verificar que a função g x já está escrita em forma de Fourier! Por que qual é a formulação de Fourier?

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sin ⁡ n π x L

Certo? Só que L = π , então:

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

Perceba que se substituirmos o n = 1 e n = 2 nesse somatório aí, vamos ganhar:

g x = a 0 2 + a 1 cos ⁡ x + b 1 sin ⁡ x + a 2 cos ⁡ 2 x + b 2 sin ⁡ 2 x + ∑ n = 3 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

Só que como a nossa g x = - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x , bem, então por comparação:

a 0 2 = - c 0           →               a 0 = - 2 c 0

a 1 = - c 1

b 1 = - c 2

a 2 = 0

b 2 = - c 3

Já todos os demais b n e a n são 0 . Então um resumão para a g é:

a n = a 0 = - 2 c 0 ,                   p a r a     n = 0 a 1 = - c 1 ,                         p a r a   n = 1 a 2 = 0 ,                         p a r a   n = 2 a n = 0 ,           p a r a   t o d o s   o s   o u t r o s                             e                               b n = b 1 = - c 2 ,                   p a r a     n = 1 b 2 = - c 3 ,                         p a r a   n = 2   b n = 0       ( p a r a   o s   d e m a i s )

Certo? Descobrimos isso sem precisar fazer aquela contaiada de integral toda, viu só? Agora, e para a função h x = x ? Bem aqui infelizmente não tem outra saída! Vamos ter que calcular!

Passo 5

Para h x = x temos pelos coeficientes da série de Fourier:

a 0 = 1 L ∫ - L L h x d x

a n = 1 L ∫ - L L h x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 π ∫ - π π h x sin ⁡ n x d x

Então:

a 0 = 1 π ∫ - π π x d x   →

a 0 = 1 π π 2 2 - π 2 2 = 0

Perceba que esse resultado poderia ser obtido simplesmente percebendo que x é uma função ímpar, logo a integral em um intervalo simétrico ( - π ,   π ) , só poderia ser 0 mesmo. Essa análise é interessante, pois agora nem precisamos calcular essa outra integral aqui:

a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x

Pois como o cosseno é par, vezes o (ímpar) o resultado também é ímpar, logo essa integral será 0 em qualquer intervalo simétrico. Em especial... De - π ,   π :

a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x = 0

Porém, quanto a essa outra integral aqui:

b n = 1 π ∫ - π π x sin ⁡ n x d x

Não tem escapatória! Temos que calculá-la, já que x é impar e seno também, logo o produto é par:

b n = 1 π ∫ - π π x sin ⁡ n x d x

Como a integral indefinida de:

∫ x sin ⁡ n x   d x =

Se resolve por integração por partes, ou seja:

u = x       e       d v = sin ⁡ n x d x     →

d u = d x       e       v = - cos ⁡ n x n    

∫ u d v = v u - ∫ v d u

∫ u d v = - x cos ⁡ n x n - ∫ - cos ⁡ n x n d x

∫ u d v = - x cos ⁡ n x n + 1 n ∫ cos ⁡ n x d x

∫ u d v = - x cos ⁡ n x n + 1 n sin ⁡ n x n

∫ u d v = - x cos ⁡ n x n + sin ⁡ n x n 2

Então:

b n = 1 π ∫ - π π x sin ⁡ n x d x

b n = 1 π - x cos ⁡ n x n + sin ⁡ n x n 2 - π π

b n = 1 π - π cos ⁡ n π n + sin ⁡ n π n 2 - π cos ⁡ - n π n + sin ⁡ - n π n 2

Como o seno de n π é sempre 0 ...

b n = 1 π - π cos ⁡ n π n - π cos ⁡ - n π n

O que é o cosseno de n π ?

cos ⁡ n π = - 1 n = cos ⁡ - n π

Então...

b n = 1 π - π - 1 n n - π - 1 n n

b n = 1 π - 2 π - 1 n n

Esse - na frente do 2 , vai par o - 1 n , pois - 1 - 1 n = - 1 n + 1 ...

b n = 2 - 1 n + 1 n  

Um resumo do que encontramos aqui é:

  p a r a   h x = a n = 0 ,     p a r a   q u a l q u e r   n   b n = 2 - 1 n + 1 n       p a r a   q u a l q u e r   n

Em especial, podemos dizer que:

a n = a 0 = 0 ,                   p a r a     n = 0 a 1 = 0 ,                         p a r a   n = 1 a 2 = 0 ,                         p a r a   n = 2 a n = 0 ,           p a r a   t o d o s   o s   o u t r o s               e               b n = b 1 = 2 ,                   p a r a     n = 1 b 2 = - 1 ,                         p a r a   n = 2   b n = 2 - 1 n + 1 n   ( p a r a   o s   d e m a i s )

Passo 6

Com isso calculado, podemos finalmente chegar aos termos de a n da função f x , sabendo que f x = h x + g x , então (Mas antes, um resumo do que encontramos na g e na h ):

a n = a 0 = - 2 c 0 ,                   p a r a     n = 0 a 1 = - c 1 ,                         p a r a   n = 1 a 2 = 0 ,                         p a r a   n = 2 a n = 0 ,           p a r a   t o d o s   o s   o u t r o s                             e                               b n = b 1 = - c 2 ,                   p a r a     n = 1 b 2 = - c 3 ,                         p a r a   n = 2   b n = 0       ( p a r a   o s   d e m a i s )

a n = a 0 = 0 ,                   p a r a     n = 0 a 1 = 0 ,                         p a r a   n = 1 a 2 = 0 ,                         p a r a   n = 2 a n = 0 ,           p a r a   t o d o s   o s   o u t r o s               e               b n = b 1 = 2 ,                   p a r a     n = 1 b 2 = - 1 ,                         p a r a   n = 2   b n = 2 - 1 n + 1 n   ( p a r a   o s   d e m a i s )

O a n para a função f x :

  • O a 0 da f x será a soma dos dois a 0 anteriores (da h e da g ):

    • a 0 = - 2 c 0 + 0 =

    - 2 c 0

  • O a 1 também é a soma:

    • a 1 = - c 1

  • O a 2 ...

    • a 2 = 0 + 0 = 0

  • Já o a n ...

a n = 0 + 0 = 0

Quanto aos b’s:

b n = b 1 = 2 - c 2 ,                   p a r a     n = 1 b 2 = - 1 - c 3 ,                         p a r a   n = 2   b n = 2 - 1 n + 1 n + 0   ( p a r a   o s   d e m a i s )

Então, voltando a equação lá do passo 2 que ganhamos através da Parceval:

2 π ∫ 0 π f x 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

1 π ∫ - π π f x 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Tirando o termo 1 e 2 desse somatório:

1 π ∫ - π π f x 2 = a 0 2 2 + a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 + ∑ n = 3 ∞ a n 2 + b n 2

Substituindo agora:

1 π ∫ - π π f x 2 = - 2 c 0 2 2 + - c 1 2 + 2 - c 2 2 + 0 2 + - 1 - c 3 2   + ∑ n = 3 ∞ 0 + 2 - 1 n + 1 n 2

Beleza, agora vamos filosofar em cima desse resultado para retirar os valores de c 2 pedido no problema !

Passo 7

Bem, queremos encontrar os valores desse amiguinho que torna o valor da integral o menor possível. Quando isso acontece? Isso acontece quando esse termo 2 - c 2 2 = 0 , não concorda? Então:

2 - c 2 2 = 0

Logo,

c 2 = 2

Resposta

Alternativa

a )   2