Passo 1

Apesar de não estarmos reconhecendo cônicas normalmente aqui, estamos procurando por um valor de k correspondente à degeneração da quádrica em um único ponto.E procurar degenerações é com a gente né. Aqui, novamente, a ideia é simplificar a equação.

Passo 2

Completando os quadrados:

x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 + 2 k x + 4 k z + 9 = 0

x 2 + 2 k x + k 2 + 3 y 2 + 2 z 2 + 4 k z + 2 k 2 + 9 = k 2 + 2 k ²

x + k 2 + 3 y 2 + 2 z + k 2 = 3 k 2 - 9

Fazendo a substituição:

x 2 = x 1 + k

z 2 = z 1 + k

Temos:

x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 = 3 k 2 - 9

Todos os termos da esquerda são ≥ 0 . Então, para que a solução seja única, devemos ter:

3 k 2 - 9 = 0

k = ± 3

Resposta

e   k = 3 ou k = - 3

Exercícios Resolvidos de Identificando as Cônicas

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