Seja fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O ,   B ) no plano, com B uma base ortonormal. Considere a cônica representada pela equação:

3 x 2   +   4 x y   +   2 √ 5   x   +   2 √ 5   y   = 11 4

Sabe-se que ( 2 ,   1 )   e   ( 1 ,   - 2 )   são autovetores da matriz A

associados, respectivamente, aos autovalores 4   e   - 1 . Assinale a alternativa

correta:

(a) a equação dada representa um par de retas concorrentes;

(b) a equação dada representa um par de retas paralelas;

(c) a equação dada representa uma hipérbole;

(d) a equação dada representa uma elipse;

(e) a equação dada representa uma parábola.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais cônicas a equação representa. Show? Vamos nessa!!

A primeira coisa que precisamos fazer é reescrever a nossa equação como produto de Matrizes. Então temos que

3 x 2   +   4 x y   +   2 √ 5   x   +   2 √ 5   y   = 11 4

Vamos fazer uma mudança de base. vamos dizer que ( x ' , y ' ) P = ( x , y ) . Onde P é a matriz dos autovetores definida como

Fazendo essa transformação, nossa equação vira

desenvolvendo os produtos de matrizes

⇒ 4 x ' 2 - y ' 2 + 2 5 * 3 x ' - 2 5 y ' = 11 / 4

somando e subtraindo 5

4 x ' 2 + 2 5 * 3 x ' - ( y ' + 5 ) 2 = 11 / 4 - 5

somando e subtraindo 45 / 4

( 2 x + 3 2 5 ) 2 - ( y ' + 5 ) 2 = 9

Que é a adequação de uma hipérbole. Logo, a resposta correta é a letra c

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c)

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