Seja C   ∈ R . Uma condição necessária e suficiente para que a cônica de equação x 2 + y 2 + 2 C x y - 2 2 x + 1 = 0 seja uma parábola é:

  1. C = 0 ;
  2. C = 1 ;
  3. C = 1   o u   C = - 1 ;
  4. C = - 1 ;
  5. C ≠ 0 .

Passo 1

Aqui precisamos achar a restrição sobre a constante C para que a equação descreva uma parábola. Para que seja uma parábola, temos que Δ = 0 :

4 C 2 - 4 = 0

C = ± 1

Passo 2

Vamos checar para C = 1 se a equação é uma degeneração:

x 2 + y 2 + 2 x y - 2 2 x + 1 = 0

Um jeito de verificarmos se existe uma degeneração é tentarmos resolver a equação de 2º grau para y . Com Bháskara mesmo!! Se o Δ for um quadrado perfeito vamos achar uma degeneração:

Δ = 4 x 2 - 4.1 . ( x 2 - 2 2 x + 1 )

Δ =   8 2 x - 4

Como não é o caso, não se trata de uma degeneração e sim de uma parábola!

Passo 3

Vamos checar para C = - 1 se a equação é uma degeneração:

x 2 + y 2 - 2 x y - 2 2 x + 1 = 0

Seguimos o mesmo procedimento:

Δ = 4 x 2 - 4.1 . ( x 2 - 2 2 x + 1 )

Δ =   8 2 x - 4

Mesma situação, se trata de uma parábola!!

Resposta

c   C = 1 ou C = - 1

Exercícios Resolvidos de Identificando as Cônicas

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