Seja F ∈ R . A cônica de equação 9 x 2 + y 2 - 6 x y = 10 F 2 é :

  1. Um par de retas paralelas se e somente se F < 0 ;
  2. Um par de retas concorrentes se e somente se F > 0 ;
  3. Um par de retas paralelas se e somente se F ≠ 0 ;
  4. Um par de retas paralelas se e somente se F > 0 ;
  5. Um par de retas concorrentes se e somente se F ≠ 0 .

Passo 1

Aqui precisamos considerar a influência de F na cônica. Primeiramente, vamos simplificar a equação.

Passo 2

Temos:

q C a n = 9 - 3 - 3 1

Calculamos os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 9 - λ - 3 - 3 1 - λ = 0

9 - λ 1 - λ - 9 = 0

λ 2 - 10 λ = 0

λ 1 = 0 λ 2 = 10

Logo a equação simplificada é:

10 y 2 = 10 F ²

y 2 = F ²

Passo 3

E agora?

Bem, se F = 0 :

y 2 = 0 ⇒ y = 0

Ou seja, temos uma única reta.

Agora, se F ≠ 0 , temos:

y = ± F 2

Obs: Não tiramos o F da raiz por não sabermos se é positivo ou negativo.

De qualquer forma, teremos uma par de retas paralelas!!

Resposta

c   Um par de retas paralelas se e somente se F ≠ 0

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