PUC-Rio – Probabilidade e Estatística (ENG1029)-2019-1
Se , calcule a média e a variância da variável aleatória em função da variável aleatória , demonstrando todos os passos através da variável aleatória contínua.
Passo 1
Para calcular a média de um número utilizando método de variáveis discretas, temos que
Entretando quando estamos lidando com variáveis contínuas, temos que nossa média é definida como
Enquanto a variância é definida como o desvio quadrático médio da média, definida como
Passo 2
Então vamos calcular a média da nossa função usando o método de variáveis contínuas. Assim tome que
Primeiro vamos aplicar a distributiva
Agora colocando as constantes em evidência podemos reescrever nossa integral como
Repare que o primeiro termo é a média de e o segundo é a média de , ou seja
Passo 3
Vamos tomar então que
Já sabemos que , então
Que se eliminando o termo nos deixa com
Agora repare, vamos colocar o em evidência, então temos
E lembrando que a média do produto é o produto da média, assim
Assim temos 2 observação, a primeira é que a média de uma constante é constante. E a segunda é, repare que o segundo termo é exatamente a definição dada de variância de , assim temos que