PUC-Rio – Probabilidade e Estatística (ENG1029)-2019-1
Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade:
Pede-se:
- Qual o valor do parâmentro para que seja uma função de densidade de probabilidade. Apresente a função de densidade de probabilidade e seu domínio.
- Encontre a Probabilidade de
Passo 1
Vamos começar definindo nossa função de densidade de probabilidade de maneira simples.
Ou seja, quando integramos nossa função densidade em todo espectro, ela deve valer de toda probabilidade de se encontrar tudo que queremos. Na física usamos a função para determinar a probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado poço de potencial.
Passo 2
- Sendo assim, temos que
- Agora sabendo quanto vale nosso , vamos determinar quando vale a probabilidade entre .
Entretanto, sabemos quanto vale nossa função em cada um desses intervalos, não é mesmo ?
Desta forma temos que
Agora bastamos saber resolver as integrais. Assim
e
Vamos fazer uma substituição simples, ou sejam com nossos limites sendo e
Desta maneira, quando substituímos, temos
E lembrando que a integral/derivada de é , então
Por fim temos então
Assim temos que
Com nosso domínio de integração .
Passo 3
Assim queremos calcular
Claro que já sabemos quanto vale a função em cada intervalo, então
A primeira integral é o que já vimos anteriormente e
Que era o nosso . A segunda integral
Fazemos a mesma substituição de , temos
Assim temos finalmente que
Que claramente é um valor menor do que 1, mostrando que no mínimo coerente, nosso resultado está.